Si dans un triangle, une droite passe par les m

Le cours avec les aides animées
Q1. Que permet de démontrer le théorème : « Si dans un triangle, une droite passe par les milieux de
deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté. » ? Permet de démontrer que 2 droites sont parallèles.
Q2. Cite un théorème qui permet de montrer qu'un point est le milieu d'un côté d'un triangle.
Si, dans un triangle, une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté alors elle
passe par le milieu du troisième côté.
Q3. Quelles sont les données nécessaires de ce théorème : « Si dans un triangle, un segment joint les
milieux de deux côtés alors sa longueur est égale à la moitié du troisième côté. » ?
Les milieux de 2 côtés d'un triangle et la longueur du troisième côté.
Les exercices d'application
1 À la recherche du bon théorème
a. Sur les figures suivantes, les droites repassées en gras sont parallèles. Indique, si possible, le numéro
du théorème que tu peux appliquer parmi les trois théorèmes suivants :
Théorème 1 : « Si dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle
au troisième côté. » ;
Théorème 2 : « Si dans un triangle, un segment joint les milieux de deux côtés alors sa longueur est égale
à la moitié de celle du troisième côté. » ;
Théorème 3 : « Si dans un triangle, une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un second
côté alors elle passe par le milieu du troisième côté. ».
b. Colorie en vert le triangle que tu utilises.
12 cm
3 cm
Fig 1 : th 1.
Fig 2 : th 2.
Fig 3 : th .....
Fig 4 : th 3.
Fig 5 : th 1.
Fig 8 : th 3.
Fig 9 : th .....
Fig 10 : th 3.
12
cm
Fig 6 : th .....
2
Fig 7 : th 2.
Compléter la démonstration
3
Sur la figure ci-contre, H est le milieu du segment
[AC] et la droite (HT) est parallèle à la droite (CS).
Montre que T est le milieu du segment [AS].
Compléter la démonstration (bis)
Sur la figure ci-contre, H est le milieu du segment
[AC] et T est le milieu du segment [AS]. Montre
que les droites (CS) et (TH) sont parallèles.
S
S
T
A
T
H
C
Données : Dans le triangle ACS, on sait que H est
le milieu de [CA] et (TH) est parallèle à (CS).
Propriété : Si, dans triangle, une droite passe par
le milieu d'un côté et est parallèle à un second
côté alors elle passe par le milieu du troisième
côté.
Conclusion : T est le milieu de [AS].
A
H
C
Données : Dans le triangle ACS, on sait que H est
le milieu de [CA] et que T est le milieu de [AS] .
Propriété : Si, dans triangle, une droite passe par
les milieux de deux côtés alors elle est parallèle
au troisième côté.
Conclusion : (TH) est parallèle à (CS).
4
Sans la figure
b. Montre que U est le milieu du segment [OE].
a. Construis un triangle CHN tel que CH = 2,3 cm ;
CN = 3 cm et NH = 4 cm.
Construis le point I symétrique du point C par
rapport à H et le point E symétrique du point C par
rapport à N.
Données : Dans le triangle OSE, on sait que I est le
milieu de [OS] et (UI) est parallèle à (ES).
Propriété : Si, dans triangle, une droite passe par
le milieu d'un côté et est parallèle à un second
côté alors elle passe par le milieu du troisième
côté.
Conclusion:
U est le milieu du segment [OE].
c. Calcule UI.
Données : Dans le triangle OSE, on sait que I est le
milieu de [OS] et U est le milieu de [OE].
Propriété : Si, dans un triangle, un segment joint
les milieux de deux côtés alors sa longueur est
b. Montre que les droites (HN) et (IE) sont
parallèles.
Données : Dans le triangle CEI, on sait que N est le
égale à la moitié de celle du troisième côté.
2
SE
Conclusion : UI =
donc II = .
2
2
Ainsi UI = 1 cm.
6
milieu de [CE] et H est le milieu de [CI].
Propriété : Si, dans un triangle, une droite passe
par le milieu de deux côtés alors elle est parallèle
au troisième côté.
Étape intermédiaire
Sur la figure ci-dessous, CHMS est un trapèze ; les
côtés [CH] et [MS] sont parallèles ; A est le milieu
du segment [HM] et P est le milieu du segment
[CM].
H
C
Conclusion : (NH) est parallèle à (EI).
Données : Dans le triangle CEI, on sait que N est le
milieu de [CE] et H est le milieu de [CI].
Propriété : Si, dans un triangle, un segment joint
les milieux de deux côtés alors sa longueur est
égale à la moitié de celle du troisième côté.
IE
Conclusion : HN =
donc IE = 2 × HN.
2
Ainsi IE = 8 cm.
5
S
M
a. Montre que les droites (CH) et (PA) sont
parallèles.
Données : Dans le triangle CHM, on sait que A est
le milieu de [HM] et P est le milieu de [CM].
Propriété : Si, dans un triangle, une droite passe
par le milieu de deux côtés alors elle est parallèle
au troisième côté.
Conclusion : (AP) est parallèle à (CH).
b. Montre que les droites (PA) et (MS) sont
parallèles.
À ton tour
Sur la figure ci-contre,
AISE
est
un
parallélogramme
tel
que SE = 2 cm et IS =
1,8 cm.
I est le milieu
segment [OS].
A
P
c. Calcule IE.
S
I
U
E
A
du
O
a. Que peux-tu dire des droites (UI) et (ES) ?
Justifie.
AISE est un parallélogramme. Donc (AI) // (ES)
U se trouve sur (AI), donc (UI) // (ES)
Données : Les droites (PA) et (MS) sont toutes les
deux parallèles à la droite (MS).
Propriété : Si deux droites sont parallèles à une
même troisième alors elles sont parallèles entre
elles.
Conclusion
parallèles.
:
les
droites
(PA)
et
(MS)
sont
7
Histoire de longueurs
DIGT est un rectangle
tel que DI = 5,6 cm et
DT = 3,2 cm. O est le
milieu du segment [DI]
et S est le milieu du
segment [DT].
D
O
9
I
S
T
En utilisant les carreaux !
a. Sur le dessin ci-dessous, place le point J milieu
du segment [AC] puis trace la droite parallèle à
(BC) passant par J. Elle coupe [AB] en I.
G
A
a. Donne la valeur arrondie au dixième de TI.
I
x
DIT est un triangle rectangle en D, donc d'après le
xJ
théorème de Pythagore, TI² = DT² + DI²
TI² = 3,2² + 5,6²
B
C
TI² = 10,24 + 31,36
TI² = 41,6
Soit TI =
41,6
b. Montre que I est le milieu du segment [AB].
cm, donc TI ≈ 6,4 cm.
b. Déduis-en la valeur arrondie au dixième de OS.
Données : Dans le triangle DIT, on sait que O est
le milieu de [DI] et S est le milieu de [DT].
Propriété : Si, dans un triangle, un segment joint
les milieux de deux côtés alors sa longueur est
égale à la moitié de celle du troisième côté.
TI
6,4
Conclusion : OS =
donc OS ≈
.
2
2
Données : Dans le triangle ABC, on sait que J est le
milieu de [AC] et (JI) est parallèle à (BC).
Propriété : Si, dans triangle, une droite passe par
le milieu d'un côté et est parallèle à un second
côté alors elle passe par le milieu du troisième
côté.
Conclusion : I est le milieu de [AB]
c. Utilise la méthode précédente pour construire
le milieu du segment [AB] dans chaque cas.
A
Ainsi OS ≈ 3,2 cm .
8
I
x
Avec le quart
Dans le triangle ABC, les points I, J, K et L sont les
milieux respectifs de [AB], [AC], [AI] et [AJ].
a. Montre que KL =
B
1
IJ.
2
Données : Dans le triangle AJI, on sait que K est le
milieu de [AI] et L est le milieu de [AJ].
Propriété : Si, dans un triangle, un segment joint
les milieux de deux côtés alors sa longueur est
égale à la moitié de celle du troisième côté.
IJ
Conclusion : KL =
2
A
xI
J
1
b. Montre que IJ =
BC.
2
Données : Dans le triangle ABC, on sait que I est le
milieu de [AB] et J est le milieu de [AC].
Propriété : Si, dans un triangle, un segment joint
les milieux de deux côtés alors sa longueur est
égale à la moitié de celle du troisième côté.
BC
Conclusion : IJ =
2
c. Déduis-en que KL =
KL =
xJ
1
BC.
4
1
1
1
1
IJ, donc KL =
×
BC, soit KL =
BC
4
2
2
2
x
B
A
I
x
B
x
J

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