D ´EPARTEMENT DE MATH ´EMATIQUES ET DE STATISTIQUE

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DEPARTEMENT
DE MATHEMATIQUES
ET DE STATISTIQUE
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FACULTE´ DES ARTS ET DES SCIENCES – UNIVERSITE´ DE MONTREAL
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SIGLE DU COURS :
TITRE DU COURS :
NOM DES PROFESSEURS :
DATE DE L’EXAMEN :
MAT 1600
Alg`ebre lin´eaire
J. Patera, G. Poliquin
Le 18 mars 2014, 13h30 – 15h20
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DIRECTIVES PEDAGOGIQUES
:
• Aucune documentation permise, aucune calculatrice
• R´epondre a` toutes les questions.
1. (a) Trouver la d´ecomposition LU de la matrice A :

1
3
5
20
A=
−2 −1
−1 7

1
5
6
31 
.
−1 −4
1
7
V´erifier votre r´eponse.
(3)
(b) Calculer det(AT ). Justifier.
(7)
(c) Soit la matrice suivante :

0 −1
−5 3
B=
2
1
1 −7

0 −4
0
3
.
0 −3
−1 −6
Calculer det(B). Justifier vos calculs.
(5)
(d) Calculer det(A + B). Justifier vos calculs.
2. Soit la matrice

1 −3
 2 −6
A=
 2 −6
−1 3
4 −2
9 −1
9 −1
−4 2

5
4
8
2
.
9
7
−5 −4
(10)
(a) Trouver une base et la dimension de l’espace image Im A (aussi not´e Col A). Justifier.
(5)
(b) Trouver une base et la dimension de l’espace ligne Lig A (aussi not´e Lgn A). Justifier.
(5)
(c) Trouver une base et la dimension de l’espace noyau Ker A (aussi not´e Nul A). Justifier.
(5)
(d) Soit une matrice B non nulle de format m×n. Quelle est la dimension maximale que peut prendre
l’espace nul de B ? Justifier votre r´eponse.
3. Soit R3×3 l’espace vectoriel des matrices 3×3 a` coefficients r´eels. Soient A, B ∈ R3×3 , deux matrices
fix´ees non-nulles et soient
U = {X ∈ R3×3 : XA = 0}
et
V = {X ∈ R3×3 : XA = B}.
(5)
(a) Dire si U est un sous-espace vectoriel de R3×3 . Si oui, le montrer ; sinon, justifier pourquoi.
(5)
(b) Dire si V est un sous-espace vectoriel de R3×3 . Si oui, le montrer ; sinon, justifier pourquoi.
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4. Soient les matrices de R2×2 suivantes :
2 1
13 −1
A1 =
A2 =
3 0
6 −3
(10)
(5)
−3 1
A3 =
0 1
et
A4 =
−4 3
.
3 2
(a) Si W = Vect{A1 , A2 , A3 , A4 }, donner une base et la dimension de W. Justifier votre raisonnement.
−7 4
(b) Soit A =
∈ W. Exprimer la matrice A dans la base obtenue en (a). Justifier.
3 3
5. Soit la transformation T : P3 [x] → R2×2 d´efinie par
a+b
T (p)(x) =
0
2c + d
,
d
si p(x) = ax3 + bx2 + cx + d.
(8)
(a) Montrer que T est une transformation lin´eaire.
(10)
(b) D´eterminer une base du noyau Ker T . Quelle est la dimension de Ker(T ) ? Justifier.
(2)
(c) Est-ce que T est injective ? Justifier.
(5)
(d) D´eterminer si T est surjective. Justifier.
Jiˇr´ı PATERA
Guillaume POLIQUIN
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