Une introduction à la théorie de Hodge et à la géométrie kählerienne TD du 12/02/2014 L. Charles et S. Diverio Exercice 1. Prouver qu’un fibré en droites L → X est positif (resp. défini positif) si et seulement si L⊗k est positif (resp. défini positif) pour tout k > 0. En déduire qu’un fibré en droites ample est défini positif, et qu’un fibré en droites semiample (c’est-à-dire tel que une des ses puissances tensorielles est globalement engendrée) est positif. Exercice 2. Soient A, L → X deux fibrés en droites holomorphes sur une variété complexe compacte. Prouver que si A est positif, alors A⊗k ⊗ L est positif pour tout k suffisamment grand Exercice 3. Prouver que O(k) → Pn , k ≥ 1, est très ample et, plus généralement, que si ι : X ,→ Pn est un plongement alors OX (k) = ι∗ O(k) est très ample. n+k Décrire les applications ϕ|O(k)| : Pn → P( n )−1 . Elles sont appelées plongements de Veronese ; lorsque n = 1 son image ϕ|O(k)| (P1 ) ⊂ Pk est appelée courbe rationnelle normale de degré k. Exercice 4. Soient L → X et K → Y deux fibrés en droites holomorphes. Montrer que si les espaces de sections holomorphes de L et K sont tous deux de dimension finie, alors l’application naturelle H 0 (X, L) ⊗ H 0 (Y, K) → H 0 (X × Y, L K) est un isomorphisme. Exercice 5. Soient X et Y deux variétés complexes compactes, et A → X et B → Y deux fibrés en droites positifs. Déterminer un fibré en droites ample sur le produit X ×Y . En déduire que le produit de deux variétés projectives est une 1 variété projective. Décrire en détail le cas X = Pn , Y = Pm , A = OPn (1), B = OPm (1). Le plongement de Pn ×Pm ,→ Pnm+n+m donné par le système linéaire complet |OPn (1) OPm (1)| est appelé plongement de Segre. Exercice 6. Soit L → X un fibré en droite holomorphe hermitien. – Soit s une section holomorphe de L et p un point ou |s| atteint son maximum. Montrer que iΘ(L) est positif en p. – Déduire que si X est compact et L défini positif alors H 0 (X, L∗ ) = 0. Exercice 7. Soit C une variété complexe analytique compacte de dimension dim C = 1 et L → C un fibré en droites holomorphe. R – Soit ω une (1, 1)-forme réelle et positive sur C telle que X ω = 1. i Prouver que L admet une métrique h telle que 2π Θ(L, h) = deg(L) ω. – Déduire que L est positif si et seulement si deg(L) > 0. 2