Vocabulaire de la logique et des ensembles

Feuille de TD no 1
Vocabulaire de la logique et des ensembles
Exercice 1 (divertissement)
Que pensez-vous de l’énoncé : «La phrase suivante est fausse. La phrase précédente est vraie.» ?
Exercice 2 (connecteurs logiques, tables de vérité)
Soient P , Q et R trois propositions. En utilisant des tables de vérité, démontrer les équivalences
suivantes :
1) associativité du «et» : (P et Q) et R ⇐⇒ P et (Q et R) ;
2) associativité du «ou» : (P ou Q) ou R ⇐⇒ P ou (Q ou R) ;
3) distributivité du «et» par rapport au «ou» : P et (Q ou R) ⇐⇒ (P et Q) ou (P et R) ;
4) distributivité du «ou» par rapport au «et» : P ou (Q et R) ⇐⇒ (P ou Q) et (P ou R) ;
5) négation du «et» : non (P et Q) ⇐⇒ (non P ) ou (non Q) ;
6) négation du «ou» : non (P ou Q) ⇐⇒ (non P ) et (non Q) ;
7) caractérisation de l’implication : (P ⇒ Q) ⇐⇒ (non P ) ou Q ;
8) négation de l’implication : non (P ⇒ Q) ⇐⇒ P et (non Q) ;
9) principe de contraposition : (P ⇒ Q) ⇐⇒ (non Q ⇒ non P ) ;
10) 1re caractérisation de l’équivalence : (P ⇔ Q) ⇐⇒ (P ⇒ Q) et (Q ⇒ P ) ;
11) 2e caractérisation de l’équivalence : (P ⇔ Q) ⇐⇒ (P et Q) ou (non P et non Q).
Retrouver 11) à l’aide des équivalences précédentes.
Exercice 3 (logique abstraite)
L’implication est-elle associative ?
Exercice 4 (négations, contraposées, réciproques, conditions nécessaires, conditions suffisantes)
Un élevage de lapin est touché par la myxomatose. On considère les propositions suivantes :
P : «Tous les mâles de l’élevage sont infectés.»
Q : «Dans l’élevage, il existe un mâle sain et une femelle saine.»
1) Écrire la négation de P et la négation de Q.
2) Réécrire P en utilisant une tournure «Si... alors...». Donner la contraposée et la réciproque de P .
3) Dire pour chacune des propositions suivantes si elle est vraie ou fausse :
— Pour prouver que P est vraie, il suffit de vérifier que tous les lapins sains sont des femelles.
— Pour prouver que P est vraie, il est nécessaire de vérifier que toutes les femelles sont saines.
— Pour prouver que P est fausse, il suffit de trouver un mâle sain.
— Pour prouver que P est fausse, il est nécessaire de vérifier que tous les mâles sont sains.
— Pour prouver que Q est vraie, il suffit de trouver une femelle saine.
— Pour prouver que Q est vraie, il est nécessaire de trouver une femelle saine.
— Pour prouver que Q est fausse, il suffit de vérifier que toutes les femelles sont infectées.
— Pour prouver que Q est fausse, il est nécessaire de vérifier que tous les lapins sont infectés.
Exercice 5 (interprétation de propositions quantifiées, ordre des quantificateurs)
Soit f : R → R une fonction. On considère les propositions suivantes :
P1
P2
P3
P4
BCPST 1A lycée Hoche 2014-2015
:
:
:
:
∃M ∈ R, ∀x ∈ R,
∀x ∈ R, ∃M ∈ R,
∀M ∈ R, ∃x ∈ R,
∃x ∈ R, ∀M ∈ R,
f (x) 6 M
f (x) 6 M
.
f (x) 6 M
f (x) 6 M
Sébastien Godillon
1 sur 2
1) Donner l’interprétation de chacune de ces propositions en français.
2) Montrer que P1 est équivalente à la proposition : ∃M ∈ R, ∀x ∈ R, f (x) < M .
Exercice 6 (traduction en propositions quantifiées)
Soit (un )n>0 une suite de nombres réels. A l’aide de quantificateurs, traduire les propositions suivantes
en langage mathématique :
1) La suite (un )n>0 ne s’annule jamais.
2) La suite (un )n>0 n’est pas la suite constante égale à 0.
3) La suite (un )n>0 est croissante.
4) La suite (un )n>0 ne prend jamais deux fois la même valeur.
5) La suite (un )n>0 est majorée.
6) La suite (un )n>0 n’est pas minorée.
7) La suite (un )n>0 est constante.
8) La suite (un )n>0 est stationnaire (c’est-à-dire constante à partir d’un certain rang).
Exercice 7 (négation de propositions quantifiées)
Soit f : R → R une fonction. Écrire la négation de chacune des propositions suivantes :
1) ∀x ∈ R, f (x) > 0 ;
2) ∃x ∈ R, f (x) = 0 ;
3) ∀y ∈ R, ∃x ∈ R, f (x) = y ;
4) ∃M ∈ R+ , ∀x ∈ R, |f (x)| 6 M ;
5) ∀ε ∈ R?+ , ∃a ∈ R, ∀x ∈ R, x > a ⇒ |f (x)| 6 ε ;
6) ∀a ∈ R, ∀ε ∈ R?+ , ∃η ∈ R?+ , ∀x ∈ R, |x − a| < η ⇒ |f (x) − f (a)| < ε.
Exercice 8 (inclusions, unions, intersections, différences)
Soient A et B deux parties d’un ensemble Ω. Démontrer les équivalences suivantes :
1) A ∩ B = A ⇐⇒ A ⊂ B ;
2) A ∪ B = A ⇐⇒ B ⊂ A ;
3) A ∩ B = A ∪ B ⇐⇒ A = B ;
4) A ∩ B = Ω ⇐⇒ A = Ω et B = Ω ;
5) A ∪ B = ∅ ⇐⇒ A = ∅ et B = ∅ ;
6) A \ B = Ω ⇐⇒ A = Ω et B = ∅.
Exercice 9 (ensemble des parties)
Donner la liste de tous les éléments de P({0, 1, 2}) et celle de tous les éléments de P(P({0, 1})).
Exercice 10 (représentation d’ensembles)
On considère les ensembles suivants :
A
B
C
D
=
=
=
=
{n ∈ N
{n ∈ N
{n ∈ N
{n ∈ N
/
/
/
/
∃k ∈ N, n = 2k}
∃k ∈ N, n = 3k}
∃k ∈ N, n = k 2 }
n 6 50}
1) Décrire chacun de ces ensembles par une phrase en français.
2) Déterminer les ensembles A ∩ B et D \ A.
3) Donner la liste des éléments de D \ (A ∪ B) et (C ∩ D) \ B.
BCPST 1A lycée Hoche 2014-2015
Sébastien Godillon
2 sur 2

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