2 Droites parallèles et perpendiculaires

CHAPITRE
Droites parallèles et
perpendiculaires
Énigme du chapitre.
Reproduire la figure suivante :
mur
A
Donner un programme de construction qui permettra de tracer la droite perpendiculaire à la
droite (d) passant par A sans franchir le mur.
2
Objectifs du chapitre.
— Tracer, par un point donné, la perpendiculaire ou la parallèle à une droite
donnée.
— Utiliser différentes méthodes
I/ Segment, demi-droite, droite, appartenance
Activité A. Lignes droites
Partie A : Droites, demi-droites, segments
1. Placer trois points A, B et C dans le plan. Peut-on relier les trois points avec une seule
ligne ?
2. Placer deux points D et E et placer un point F tel que D, E et F sont sur une même
droite. On dira que les points D, E et F sont alignés et que F ∈ (DE) (lire F appartient
à la droite (DE)).
3. Placer trois points R, S et T non alignés.
(a) Tracer la droite (RS).
(b) Tracer le segment [RT ]. Les extrémités du segment [RT ] sont les points R et T .
(c) Tracer la demi-droite [ST ) d’origine le point S et passant par le point T .
Partie B : Des points alignés
D
E
B
A
1. Sur la figure ci-dessus, à vue d’oeil, quel
point est aligné avec les points A et B :
le point D ou le point E ? Comment le
vérifier ?
2. Recopier et compléter par ∈ (appartient
à) et ∈
/ (n’appartient pas à) :
(a) D . . . . . . [AB]
(d) D . . . . . . (AB)
(b) E . . . . . . [AB]
(e) E . . . . . . (AB)
(c) B . . . . . . [AB]
(f) A . . . . . . (BE)
Remarques
1. La longueur du segment [ST ] se note ST . ST = 2 cm.
2. On ne peut pas parler de longueur d’une droite ou d’une demi-droite.
Définition
On dit que trois points (distincts) sont alignés si l’un des trois points appartient à la droite définite
par les deux autres.
Exemple
B
(d)
D
C
A
1. Les points A, B et C sont alignés. A ∈ (d) et C ∈ (AB).
2. Les points A, B et D ne sont pas alignés, D ∈
/ (d).
Faire les exercices 1 2 3 4 F
II/ Droites sécantes, droites perpendiculaires et parallèles
1) Droites sécantes
Activité B. Au-delà des segments
D
C
1. Reproduire la figure de gauche. Placer
le point G qui appartient à la fois aux
droites (EF ) et (DC).
2. On dit que deux droites sont sécantes
s’ils se croisent.
E
(a) Est-ce que les droites (EF ) et (DC)
sont sécantes ?
A
F
B
(b) Est-ce que les droites (EF ) et (BC)
sont sécantes ?
(c) Est-ce que les droites (DA) et (BC)
sont sécantes ?
Définition
Deux droites qui ont un point commun (un seul) sont des droites sécantes. Ce point commun est
appelé le point d’intersection des deux droites.
Exemple
B
Est-ce que les droites (AB) et (CD) sont sécantes ?
D
A
C
2) Droites perpendiculaires
Définition
Deux droites sécantes qui forment un angle droit sont perpendiculaires.
Les droites (d1 ) et (d2 ) sont perpendiculaires en
Exemple
(d2 )
(d1 )
P
P . On notera (d1 ) ⊥ (d2 ).
Définition (Médiatrice d’un segment)
La médiatrice d’un segment est une droite perpendiculaire au segment et qui coupe ce segment
en son milieu.
Exemple
La droite (d) est la médiatrice du segment [AB].
(d)
A
B
3) Droites parallèles
Définition
Deux droites qui ne sont pas sécantes sont parallèles.
Exemple
(d1 )
Les droites (d1 ) et (d2 ) sont parallèles. On notera (d1 ) // (d2 ).
(d2 )
Remarque
Deux droites passant par le même point A peuvent être parallèles. En fait, il s’agit de la même
droite et les points A, B et C sont alignés. (faire une figure)
Faire les exercices 5 6 7 F
III/ Tracer des droites perpendiculaires et parallèles
1) Droites perpendiculaires
Méthode
Construire une droite perpendiculaire à la droite (d) passant par le point M.
2) Droites parallèles
Méthode
Construire une droite parallèle à la droite (d) passant par le point N.
Faire les exercices 8 9 10 F
IV/ Propriétés de droites
Activité C. Propriétés sur les droites
1. (a) Tracer une droite (d1 ), puis deux droites (d2 ) et (d3 ) parpendiculaires à la droite (d1 ).
Qu’observe-t-on pour les droites (d2 ) et (d3 ) ?
(b) Recopier et compléter la propriété : « Si deux droites sont perpendiculaires à une même
droite, alors . . . . . . »
(c) Utiliser la propriété ci-dessus pour construire, sur une autre figure, deux droites parallèles.
2. (a) Sur une autre figure, tracer une (d1 ), puis deux droites (d2 ) et (d3 ) parallèles à la droite
(d1 ). Qu’observe-t-on pour les droites (d2 ) et (d3 ) ?
(b) Recopier et compléter la propriété : « Si deux droites sont parallèles à une même droite,
alors . . . . . . ».
3. (a) Sur une autre figure, tracer deux droites parallèles (d1 ) et (d2 ), puis une droite (d3 )
perpendiculaire à la droite (d1 ). Qu’observe-t-on pour les droites (d2 ) et (d3 ) ?
(b) Recopier et compléter la propriété : « Si deux droites sont parallèles et qu’une troisième
droite est perpendiculaire à l’une, alors elle . . . . . . ».
1) Droites perpendiculaires à une même droite
Propriété
Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.
Exemple
(d1 )
(d)
Les droites (d1 ) et (d2 ) sont perpendiculaires
à la droite (d), donc les droties (d1 ) et (d2 ) sont
parallèles.
(d2 )
2) Droites parallèles à une même droite
Propriété
Si deux droites sont parallèles à une même droite alors elles sont parallèles.
Exemple
(d1 )
Les droites (d1 ) et (d2 ) sont parallèles à la
droite (d), donc les droites (d1 ) et (d2 ) sont
parallèles.
(d)
(d2 )
3) Droites parallèles coupées par une droite perpendiculaire
Propriété
Si deux droites sont parallèles et qu’une troisième droite est perpendiculaire à l’une, alors elle est
perpendiculaire à l’autre.
Exemple
(d)
(d1 )
(d1 )//(d2 )
Faire les exercices 11 12
(d2 )
Les droites (d1 ) et (d2 ) sont parallèles et
la droite (d) est perpendiculaire à la droite (d1 )
donc la droite (d) est perpendiculaire à la droite
(d2 ).

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