2014_prem_S_M3_rap_geom

Premières S – Devoir en temps libre pour le lundi 24 novembre 2014 –
Travail par groupes de 2, 3 ou 4.
Premières S – Devoir en temps libre pour le lundi 24 novembre 2014 –
Travail par groupes de 2, 3 ou 4.
Exercice 1.
On se place dans un repère (O,I,J) et on considère les points A(-2 ; 2), B(5,6) et
C(4,1).
1) Faire une figure que l’on complétera au fur et à mesure de l’exercice et que
l’on utilisera pour vérifier les calculs faits.
2) Soit D le point tel que ABCD soit un parallélogramme. Calculer les
coordonnées de D.
3) Soit K le milieu de [CD]. Calculer les coordonnées de K.
4) Soit L le symétrique de C par rapport à B. Calculer les coordonnées de L.
1
5) Soit M le point tel que MC  AC . Calculer les coordonnées de M.
3
6) Justifier que les points K, M et B sont alignés.
7) Justifier que les droites (DL) et (KB) sont parallèles.
Exercice 1.
On se place dans un repère (O,I,J) et on considère les points A(-2 ; 2), B(5,6) et
C(4,1).
1) Faire une figure que l’on complétera au fur et à mesure de l’exercice et que
l’on utilisera pour vérifier les calculs faits.
2) Soit D le point tel que ABCD soit un parallélogramme. Calculer les
coordonnées de D.
3) Soit K le milieu de [CD]. Calculer les coordonnées de K.
4) Soit L le symétrique de C par rapport à B. Calculer les coordonnées de L.
1
5) Soit M le point tel que MC  AC . Calculer les coordonnées de M.
3
6) Justifier que les points K, M et B sont alignés.
7) Justifier que les droites (DL) et (KB) sont parallèles.
Exercice 2.
On se place dans un repère (O,I,J).
On considère les points B(6,0), C(6,6), D(0,6), F(4,0) et H(6,2).
Démontrer que les droites (BD), (CF) et (OH) sont concourantes.
Exercice 2.
On se place dans un repère (O,I,J).
On considère les points B(6,0), C(6,6), D(0,6), F(4,0) et H(6,2).
Démontrer que les droites (BD), (CF) et (OH) sont concourantes.
Exercice 3.
Exercice 3.
Partie expérimentale.
Avec un logiciel de géométrie (Geogebra) construire la figure suivante : ABCD est
un carré, K est le milieu de [AB] ; E est un point variable du segment [AB] et EBGH
est un carré.
Où faut-il placer E pour que le point H appartienne à la droite (KC) ?
Partie expérimentale.
Avec un logiciel de géométrie (Geogebra) construire la figure suivante : ABCD est
un carré, K est le milieu de [AB] ; E est un point variable du segment [AB] et EBGH
est un carré.
Où faut-il placer E pour que le point H appartienne à la droite (KC) ?
Démonstration
On se place dans le repère (A,B,D).
1) Donner les coordonnées des points A, B, C et D.
2) On appelle a l’abscisse du point E. Donner en fonction de a les coordonnées
du point H.
3) Calculer a pour que H appartienne à la droite (KC)
Démonstration
On se place dans le repère (A,B,D).
1) Donner les coordonnées des points A, B, C et D.
2) On appelle a l’abscisse du point E. Donner en fonction de a les coordonnées
du point H.
3) Calculer a pour que H appartienne à la droite (KC)
Corrigé de l’exercice 1
2) ABCD parallélogramme  AB  DC
n° 1.
AB  xB  xA ; yB  y A  donc AB  7;4 
DC  4  xD ;1  yD 
4  xD  7
 x  3
donc D(– 3 ; – 3)
AB  DC  
 D
1  yD  4
 yD  3
x  xD 1
y  yD
 et yK  C
 1
3) K est le milieu de [CD] donc xK  C
2
2
2
1

donc K  ; 1
2

4) L est le symétrique de C par rapport à B donc B est le milieu de [CL] d’où
 xL  5  1
x  6
CB  BL  
donc L(6 ;11)
 L
 yL  6  5  yL  11
1
1

5) AC  6; 1 donc AC  2;  
3
3

4  xM  2
 xM  2
1


 4
MC  AC  
1
4 donc M  2; 
3
1  yM  
yM 
 3


3
3


6) K, M et B sont alignés si et seulement si KM et KB sont colinéaires.
3 7
9 
KM  ;  et KB  ;7  .
2 3
2 
3
21 7 9 21
et  
On calcule les produits en croix :  7 
: les produits en croix
2
2
3 2 2
sont égaux donc les vecteurs sont colinéaires d’où les points K, M et B sont
alignés.
7) Les droites (DL) et (KB) sont parallèles si et seulement si les vecteurs
DL et KB sont colinéaires.
8)
1
9 
DL  9;14  et KB  ;7  . On remarque que KB  DL . Les vecteurs
2
2


DL et KB sont colinéaires donc les droites (DL) et (KB) sont parallèles.
n° 2.
On calcule une équation de chacune des droites.
Pour la droite (BD) :
yB  yD 6

 1
xB  x D
6
donc l’équation est de la forme y   x  b
Comme B appartient à (BD) on a : 6  b  0  b  6
La droite (BD) a pour équation y   x  6
Coefficient directeur
Pour la droite (CF) :
6
 3 d’où une équation de la forme y  3x  b
2
Avec F : 3  4  b  0  b  12
La droite (CF) a pour équation y  3x  12
Coefficient directeur :
Pour la droite (OH) l’ordonnée à l’origine est 0 car elle passe par O et le coefficient
2 1
directeur est égal à 
6 3
1
La droite (OH) a pour équation y  x
3
n° 3.
1) Expérimentalement, l’abscisse de E doit être à peu près 0.67
Le point d’intersection A des droites (BD) et (CF) a pour coordonnées le couple
solution du système :
 y  x  6
18
  x  6  3x  12  4 x  18  x 
 4.5

4
 y  3x  12
D’où y = – 4.5 + 6 = 1.5 donc A( 4.5 ; 1.5)
1
1
Vérifions que A est aussi sur (OH) : xA   4.5  1.5  yH : les trois droites sont
3
3
bien concourantes.
2) On se place dans le repère (A,B,D).
A(0 ;0), B(1 ;0), C(1 ;1) et D(0 ;1)
Le point H a la même abscisse que E : xH = a
D’autre part EH = BE car EBGH est un carré
Donc yH = 1 – a.
K est le milieu de [AB] donc K(0.5 ; 0)
H appartient à la droite (KC) si et seulement si les vecteurs CH et KC sont
colinéaires.
 a 1

 a  1
 0.5 
CH 
 donc CH 
 ; KC  
 a 
 (1  a)  1
 1 
1 2

1.5 3
Pour que H appartienne à la droite (KC) il faut que E soit situé aux deux tiers
du segment [AB] en partant de A.
CH et KC colinéaires  0.5a=1(a-1)  -1.5a=-1  a=

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