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Journal de Mathématiques,
Mathématiques & Applications
Fondamentales et Informatique
JMMAFI 2014, Vol.1,pp 33-42
Grandes déviations en théorie du filtrage non linéaire via la théorie
des décompositions des flots
L.I. RAJAONARISON1 , T.J. RABEHERIMANANA2
1
2
ESPA. Dépatement d’électronique.
Faculté des Sciences, Département de Mathématiques et Informatique ; BP 906,
Ankatso, 101 Antananarivo, Madagascar
1
[email protected], 2 [email protected]
Résumé : Le but de cet article est de montrer que la théorie des décompositions
des flots d’E.D.S voir Kunita [4] et Bismut [2] permet d’étendre dans le cas corrélé
les résultats de grandes déviations de Hijab [3] en théorie du filtrage non linéaire,
quand les variances des bruits tendent ves 0.
Mots-clefs : Décompositions des flots d’E.D.S, principe de grandes déviations,
filtrage non linéaire.
Abstract : In this paper, we use the decomposition theorem for flows of S.D.E
(see Kunita [4] and Bismut [2]) for proving a large deviations principle in non
linear filtering theory in the correlated case extending Hijab’s result [3] when the
noise variances go to 0.
Keywords : Decomposition theorem for flows of S.D.E, large deviations principle,
non linear filtering.
Introduction
Considérons le couple signal/ observation, interprété au sens de Stratonovich

Zt
r Zt
l Zt
X
X


i
,j
e

ei (Xs ) ◦ dBs +
e0 (Xs )ds
σ
σj (Xs ) ◦ dYs + σ
 Xt = x + 0
0
i=1
j=1
Zt



 Yt =
Γ (Xs )ds + Bt ; X0 = x ∈ Rn , Y0 = 0 ∈ Rl
0
(1)
0
e0 , σ
e1 , ..., σ
er , σ1 , ..., σl sont (n + l + 1) champs de vecteurs sur Rn , Γ est
Ici, les σ
e = (B
e i )i∈{1,··· ,r} et B = (Bjt )j∈{1,··· ,l}
une application régulière de Rn dans Rl . B
t
sont 2 mouvements browniens indépendants issus de 0 à l’instant 0. Nous noterons
e la mesure de Wiener associée à B (resp. B).
e
P (resp. P)
Le but de cet article est de démontrer un principe de grandes déviations relatif à
une version de la loi conditionnelle de X sachant Y . A cet effet, nous utilisons un
G.D. en théorie du filtrage non-linéaire
34
théorème de décompositions de solutions d’E.D.S. pour le signal. Plus précisément,
X solution de (1) s’écrit
,Φ
(2)
Xt = Φt (Xt )
où Φt (x) est la version essentiellement unique de
l Zt
X
Xt = x +
σj (Xs ) ◦ dYs,j
j=1
(3)
0
,Φ
qui est un flot C∞ -difféomorphisme dans Rn , noté Dn et Xt
E.D.S. dont les coefficients dépendent continûment de Φ .
est solution d’une
Dans un premier temps, fixant le flot Φ, nous donnons une estimation
asymptotique pour la famille (TΓ (Φ, dw))>0 une version non normalisée de la
loi conditionnelle de X sachant Φ en introduisant une condition pour éliminer
l’intégration en dY dans l’exponentielle de Girsanov. Et par identification, nous
obtenons notre résultat central (le théorème 5).
Cet article comporte trois sections.
Dans la section 1, nous décomposons le signal suivant les idées de Kunita [4] et
Bismut [2] et énonçons les résultats de grandes déviations de Ben Arous et Castell
[1], voir aussi Rabeherimanana [5] et [6], relatifs à la famile (N0 (ω, dw))>0 où
N0 (ω, dw) désigne une version de la loi conditionnelle de X sachant Y (cas où
Γ = 0).
La section 2 est consacrée au résultat classique en théorie du filtrage non linéaire.
Dans la section 3, nous démontrons le résultat central de cet article (le théorème 5).
1- DECOMPOSITIONS DE SOLUTIONS D’E.D.S. ET PRINCIPE
DE GRANDES DEVIATIONS DANS LE CAS OU Γ = 0
Dans cette section, nous supposons que Γ = 0 et de plus l’hypothèse H1 est vérifiée.
Hypothèse H1. Nous supposons que les (r + l + 1)-champs de vecteurs sur Rn
e0 , σ
e1 , ..., σ
er , σ1 , ...σl sont de classe C∞
σ
b.
Considérons Xt solution de (3). Alors il existe une version de (t, x) → Xt (x) qui
est un flot de C∞ -difféomorphisme dans Rn i.e. un élément de Dn . Notons Φt (x)
cette version essentiellement unique de Xt (x). alors presque sûrement ∀t ∈ [0, 1],
nous pouvons définir des champs de vecteurs stochastiques pour chaque i ∈ [0, r]
−1
∂Φt (x)
,∗
ei (Φt (x))
ei (x) =
σ
(4)
σ
∂x
Alors par la formule
d’Ito
généralisée, X solution du signal s’écrit
,Φ
,Φ
Xt = Φt Xt
, où Xt
est solution de l’E.D.S.
,Φ
dXt
=
r
X
i=1
,Φ ,Φ ,∗
ei + σ
e,∗
e
σ
X
◦
d
B
Xt
dt;
0
t
t
i
,Φ
Xt
=x
(5)
35
L.I. RAJAONARISON, T.J. RABEHERIMANANA
e0,k -topologie, définie ∀k ∈ N par
Dn est muni de la C0,k ou C
•
C0,k
Φn −→ Φ si pour tout compact K de Rn , on a
α
sup
|∂α Φn
t (x) − ∂ Φt (x)| → 0 lorsque n → +∞
x∈K,t∈[0,1],|α|6k
e 0,k
n C
•
Φ −→ Φ si pour tout compact K de Rn , on a
α
α
n −1
α
−1
sup
||∂α Φn
t (x) − ∂ Φt (x)|| + ||∂ (Φt ) (x) − ∂ (Φt ) (x)|| → 0
x∈K,t∈[0,1],|α|6k
lorsque n → +∞
Dans toute la suite, si u est un entier,
désignera l’espace des fonctions
u
continues de [0, T ] dans R , issues de x à l’instant 0 muni de la topologie de la
convergence uniforme et Hu
x le sous-espace de Cameron-Martin associé.


 h : [0, 1] → Ru , h(0) = 0, h absolument par rapport à la mesure de 
Lebesgue avec une dérivée de carrée intégrable telle que
Hu =
 Rt ˙ 2

0 |hs | ds < +∞
Hu est un espace d’Hilbert pour le produit scalaire
Z1
(u, v) = u˙ s .v˙ s ds
Ωu
x
0
Fixant Φ = Φ revient à contrôler Y = B par Y ∈ Ωl0 .
e ∈ Ωr0
Définissons une application V qui à Φ ∈ Dn , associe pour chaque ω
,Φ
e = Φ• (X• )
V(Φ)(ω)
(6)
où Φt (x) est la version essentiellement unique de
xt = x +
l Zt
X
σj (xs ) ◦ dYsj
0
j=1
,Φ
qui est un flot de C∞ -difféomorphisme dans Rn i.e. un élément de Dn et Xt
solution de (5’)
,Φ
dXt
0
(5 )
=
r
X
,Φ
e∗i (Xt
σ
est
,Φ
,Φ
ei + σ
e∗0 (Xt )dt; X0 = x
) ◦ dB
t
i=1
−1
∂Φt (x)
ei (Φt (x)) pour chaque i ∈ [0, r].
=
σ
avec
∂x
,Φ
Sans hypothèse sur Φ, les trajectoires de X
peuvent exploser. donc (5’)
r
n0
définit une application de Ω0 vers l’espace Ωx , espace des trajectoires explosives
f, fonction continue de [0, 1] → Rn ∪ {∞} avec f(0) = x vérifiant
n0
Ωx =
f(t0 ) = ∞ ⇒ ∀t ∈ [t0 , 1], f(t) = ∞
0
Quand f ∈ Ωn
x , on définit le temps d’explosion de f par
e∗i (x)
σ
τ(f) = inf{s, f(s) = ∞}
0
On munira Ωn
x de la topologie définie par
G.D. en théorie du filtrage non-linéaire
36
0
(fn )n∈N converge vers f dans Ωn
x
si est seulement si,
fn converge uniformément vers f sur tous les compacts de [0, τ(f)[
0
V(Φ) est donc un élément de L∞ (Ωr0 , Ωn
x ).
e ∈ Hr et Φ ∈ Dn , définissons un processus XΦ (h),
e solution de
Pour chaque h
l’équation différentielle ordinaire
!
r
i
X
Φ
Φ
Φ
Φ
˙
e +σ
e =
e h
e
e =x
e∗ (X (h))
e,∗ (X (h))
σ
dt; X (h)
(7)
dX (h)
t
t
t
i
0
t
t
i=1
où les coefficients sont définis dans (5’)
Définissons une application
F : Hl → Dn
h → flot de difféomorphisme associé à l’équation différentielle ordinaire
dXh
t
=
l
X
h
˙j
σj (Xh
t )ht dt; X0 = x
(8)
j=1
Nous notons encore F l’extension mesurable de f sur Ωl , selon les idées de
Bismut [2] :
F : Ωl → Dn
ω → F(ω) = X si X est solution de l’équation différentielle stochastique
dXt =
l
X
σj (Xt ) ◦ dYtj ; Xh
0 = x
(9)
j=1
Notons T0 (Φ, dw) la loi du processus V(Φ) (T0 (Φ, dw) est une mesure de
0
probabilités sur Ωn
x ). Nous énonçons un résultat de grandes déviations de Ben
Arous et Castell [1] relatif à la famille (T0 (Φ, dw))>0
Proposition 1 . Fixons Φ dans Dn , nous définissons une fonctionnelle L0Φ
0
sur Ωn
x par la formule
1 e 2
Φ
r
n0
0
e
e
∀z ∈ Ωx , LΦ (z) = inf
||h||Hr lorsque h ∈ H vérifie z = Φ• (X• (h))
2
avec la convention inf{ø}=+∞
Φ
e est solution de (7). Alors, la famille (T (Φ, dw))>0 admet un principe
où X (h)
0
de grandes déviations avec la fonctionnelle d’action L0Φ .
,Φ
Φ
e
e > 1, le résultat est valable quand on
De plus si τ(X ) > 1, P-p.s.
et si τ(X (h))
n
n0
remplace Ωx par Ωx .
Nous définissons pour chaque ω − P presque sûrement
• la probabilité N0 (ω, dw) = T0 (F(ω), dw)
F(ω)
e ∈ Hr , ξ(h)(ω)
e
e
• ∀h
= F(ω)(X
(h))
37
L.I. RAJAONARISON, T.J. RABEHERIMANANA
• la fonctionnelle d’action l0ω = L0F(ω)
e est solution de
ξ(h)
e =x+
ξt (h)
r Zt
X
i=1
0
i
e h
e˙ ds +
ei (ξs (h))
σ
s
l Zt
X
j=1
Zt
e ◦ dY j +
σj (ξs (h))
s
0
0
e
e(ξs (h))ds
σ
(10)
Alors nous avons
Proposition 2 [1]. N0 (ω, dw) est une mesure de probabilité sur Ωn
x , qui est
une version de la loi conditionnelle X sachant Y .
La famille (N0 (ω, dw))>0 admet un principe de grandes déviations avec la fonctionnelle d’ action l0ω . De plus, nous avons les estimations suivantes ∀A ⊂ Ωn
x
−l0ω (A◦ ) 6 lim inf 2 ln N0 (ω, A) 6 lim sup 2 ln N0 (ω, A) 6 −l0ω (A− )
→0
→0
(11)
où A◦ (resp. A− ) désigne l’intérieur de A (resp. l’adhérence de A).
2- FILTRAGE NON LINEAIRE
Considérons le couple signal/observation, solution de (1). Pour chaque
Π ∈ C2b (Rn , R), espace des fonctions de classe C2 et bornées sur Rn , nous
définissons le filtre non normalisé par
ρt Π = EB
0 [Π(Xt )Ξt ]
(12)
e
où
l Zt
X
Ξt = exp
j=1
1X
−
2 j=1
l
Γj (Xs )dYs,j
0
2
Zt
Γj2 (Xs )ds
0
(13)
P0 est la probabilité définie par la formule
dP0
/Ft = (Ξt )−1
dP
(14)
e
e
et EB
0 désigne l’intégration par rapport à B sous P0 et Ft la filtration associée à
e t ). Sous cette loi, Y est un mouvement brownien indépendant de B.
e Il est
(Bt , B
connu qu’une version mesurable de la loi conditionnelle de Ξ sachant Y est définie
par la formule
e
EB [1A (X )Ξ1 ]
NΓ (ω, A) = 0 e
(15)
EB
[
Ξ
]
0
1
G.D. en théorie du filtrage non-linéaire
38
et que le filtre non normalisé est solution de l’E.D.P.S. (16) au sens de Stratonovich
connu sous le nom d’équation de Zakai
dρt Π
=
ρt (L0 Π)dt
+
l
X
dYt,j
ρt (Lj Π) ◦
j=1
avec
Lo
=
2
2
r
X
i=1
Lj = σj +
X
1X
1
e0 −
+σ
σj Γ j −
2 j=1
2
l
e2i
σ
l
X
(Γj )2
j=1
2
Γj
(16)















(17)
∂
∂
(e
σkl
) et (Γj )2 désigne le carré de la fonction Γj
∂x
∂x
l
k
l,k
Dans la section suivante, nous étudions le comportement asymptotique de
NΓ (ω, dw) définie par (15) lorsque tend vers 0.
e2i =
σ
eli
σ
3- PRINCIPE DE GRANDES DEVIATIONS EN THEORIE DU
FILTRAGE NON LINEAIRE
Dans toute la suite, nous supposons vérifiée l’hypothèse H2
Hypothèse H2. En plus de l’hypothèse H1, nous supposons que :
n
l
H21 • Γ est une application de classe C∞
b de R dans R
H22 • il existe une application W de classe C2 de Rn dans R vérifiant pour
chaque j ∈ {1, · · · , l} σj W = Γj .
Posons
l Z
l Zt
X
1X t 2 Λt =
Γ (X )ds −
Γj (Xs )dYs,j
2 j=1 0 j s
0
j=1
Par le (5) et la formule d’Ito
1X
=
2 j=1
l
Λt
Zt
2
( σj +
,Φ
Γj )Γj Φs (Xs )ds
0
−
l Zt
X
j=1
,Φ
Γj Φs (Xs ) ◦ dYs,j
(18)
0
Sous l’hypothèse H2 et par la formule d’Ito généralisée, nous avons
l Zt
X
,Φ
,Φ
W Φt (Xt ) =
Γj Φs (Xs ) ◦ dYs,j
j=1
0
r
X Zt
ei,∗
σ
Φs )
,Φ ei
Xs
◦ dB
s
(W ◦
+
0
i=1
Zt
,Φ e0,∗ (W ◦ Φs ) Xs
+ σ
ds
0
(19)
39
L.I. RAJAONARISON, T.J. RABEHERIMANANA
Fixons Φ dans Dn . Définissons une mesure sur Ωn
x par la formule
TΓ (Φ, A)
=
e
EB
0
Λ1
,Φ
1A Φ(X ) exp − 2
(20)
Alors nous avons
Théorème 3. P-presque sûrement ∀A ⊂ Ωn
x
−LΓΦ (A◦ ) 6 lim inf 2 ln TΓ (Φ, A) 6 lim sup 2 ln TΓ (Φ, A) 6 −LΓΦ (A− )
→0
→0
(21)
où LΓΦ est définie par la formule (22) et A◦ (resp. A− désigne l’intérieur de A
(resp. l’adhérence de A).
Γ
L
= inf
Φ (A)
Z 1 2 l
Φ 2 Z 1 X
Φ
e˙ 1
e
e
Γj Φ X (h)
dY j
hs + Γ Φ X (h) ds −
2
s
s
s
0 j=1
0
(22)
e ∈ Hr et Φ XΦ (h)
e ∈A
lorsque h
s
Φ
e est défini par (7).
où X (h)
Remarquons que si Γ = 0, nous obtenons les estimations de la proposition 1.
Considérons Λt définie par (18).
Comme il a été mentionné dans [3], la démonstration du théorème 3 fait appel
aux résultats de la proposition 4 ci-dessous voir [7], utilisant la formule (15). Mais
ces résultats ne s’appliquent pas directement à cause du fait que Λt n’est pas une
fonctionnelle continue sur Ωn pour chaque Y dans Ωl . Nous devons faire un léger
détour pour éliminer l’intégration en dY.
Proposition 4. Supposons que (P ) > 0 admet un principe de grandes
déviations avec la fonctionnelle d’action I. Soit (θ ) une famille de fonctions
bornées qui converge uniformément vers θ lorsque tend vers 0. Posons :
dQ = exp(− 21 θ )dP
Alors nous avons les estimations suivantes pour tout ouvert O et tout fermé F :
lim inf 2 ln Q > − inf{I(ω) + θ(ω), ω ∈ O}
→0
lim sup 2 ln Q 6 − inf{I(ω) + θ(ω), ω ∈ F}
(23)
→0
Signalons que cette proposition est encore valable même si θ n’est pas bornée.
Il suffit que
θ
2
lim lim sup ln E 1[θ >R] exp − 2 = −∞
R→+∞ →0
Revenons à la démonstration du théorème 3.
G.D. en théorie du filtrage non-linéaire
40
Sous l’hypothèse H2 et grâce à (19), nous avons
Λt (Φ)
=
1
2
l Zt
X
j=1
,Φ (σj + Γj )Γj Φs Xs
ds
0
r Zt
X
,Φ
,Φ
ei
e∗i (W ◦ Φs )(Xs ) ◦ dB
−W Φt (Xs ) + σ
s
i=1 0
Zt
,Φ
e∗0 (W ◦ Φs )(Xs )ds
+ σ
0
Posons
Ψ (w, Φ) = Ψ (Φ(w))
l Z1
X
1
= 2
(σj + Γj )Γj Φ (w)ds
0
j=1
Z1
e ,∗ (W ◦ Φs )(ws )ds
−W (Φ1 (w)) + V
0
r Z1
X
[e
− 12
σ∗i (W ◦ Φs )(ws )]2 ds
0
i=1
e ,∗ est défini par
où V
(24)
r
2 X ∗ 2
,∗
e
fi + σ
e∗0
σ
V =
2 i=1
(25)
Il est clair que Ψ converge uniformément vers Ψ0 lorsque tend vers 0, pour
chaque Φ ∈ Dn
Définissons une mesure :
(dw) = exp
PΦ(X
Φ
:Φ)
Ψ .T (Φ, dw)
2 Γ
(26)
D’où
Φ
e
Ψ −Λ
P Φ (dw) = E0 B 1dw Φ(X : Φ) . exp 2 1
Φ(X :Φ)
Z1 X
r 2
R
,Φ
∗
1
1
ei (W ◦ Φu )(Xu ) du
= Φ(X,Φ )∈dw exp − 2 2
σ
0 i=1
!
Z1 X
r
,Φ
∗
i
e
e (W ◦ Φu )(X )dB
+
σ
u
i
u
0 i=1
,Φ
Par le théorème de Girsanov, X
,Φ
dXt
:Φ = r
X
−
,Φ
X0
:Φ
= x
,Φ
e∗i (Xt
σ
i=1
r
X
i=1
: Φ est solution de
,Φ
e∗i (Xt
σ
,Φ
ei + σ
e∗0 (Xt : Φ)dt
: Φ) ◦ dB
t
: Φ)dt
;
(27)
41
L.I. RAJAONARISON, T.J. RABEHERIMANANA
Vu notre hypothèse, les résultats de la proposition 1 s’appliquent à
Plus précisément, la famille (P Φ (dw))>0 admet un prinΦ(X :Φ)
cipe de grandes déviations avec la fonctionnelle d’action
Φ
1 e 2
r
n
0
e ∈ H vérifie z = Φ• X (h)
e :Φ
||h||Hr lorsque h
∀z ∈ Ωx , LΦ : (z) = inf
•
2
P Φ (dw).
Φ(X :Φ)
Φ
e : Φ est solution de
où X (h)
Φ
e :Φ =
dXt (h)
Φ
e :Φ
X0 (h)
r
X
Φ
i
Φ
∗
e˙ + σ
e :Φ
e
e∗i (Xt : Φ)h
σ
X
(
h)
t
0
t
i=1
!
r
X
Φ
e∗i (Xt : Φ) dt;
−
σ
(28)
i=1
= x
Grâce à la proposition 4 et par (26), on a :
lim inf 2 ln TΓ (φ, A) > − inf L0Φ (z) + ψ0 (z) lorsque z ∈ A◦
→0
lim sup 2 ln TΓ (φ, A) 6 − inf L0Φ (z) + ψ0 (z) lorsque z ∈ A−
→0
i
i
Φ
Φ
Φ
e˙ − σ
e∗i (W ◦ Φ)(X (e
u) : Φ = X (e
v), alors e
v˙ = u
v)).
Notons que si X (e
Nous
avons
alors
Z
Z 2 1 1 ˙ 2 1 1 ˙ 2
Φ
Φ
e s | ds + Ψ Φ(X (e
u) : Φ) =
v)) ds
|u
|e
vs | + Γ Φ(Xs (e
2 0
2 0
Z1 X
l
Φ
e
Γj Φ(Xs (h))
dYsj
−
0 j=1
Ainsi donc les estimations du théorème 3 s’en suivent.
Nous définissons pour chaque ω − P presque sûrement
N (ω, dw)
• la probabilité NΓ (ω, dw) = Γ
où
NΓ (ω, Ωn
x)
NΓ (ω, dw) = TΓ (F(ω), dw)
(29)
Alors nous avons le résultat suivant
Théorème 5.
1) NΓ (ω, dw) est une version non normalisée de la loi conditionnelle X
sachant Y . De plus, nous avons les estimations suivantes P-presque sûrement
∀A ⊂ Ωn
x
−lΓω (A◦ ) 6 lim inf 2 ln NΓ (ω, A) 6 lim sup 2 ln NΓ (ω, A) 6 −lΓω (A− )
→0
→0
(30)
42
avec lΓω = LΓF(ω) où LΓF(ω) est définie dans le théorème 3.
2) NΓ (ω, dw) est une version de la loi conditionnelle X sachant Y . De plus ,
nous avons les estimations suivantes P-presque sûrement ∀A ⊂ Ωn
x
Γ
Γ
−lω (A◦ ) 6 lim inf 2 ln NΓ (ω, A) 6 lim sup 2 ln NΓ (ω, A) 6 −lω (A− )
→0
→0
où l’on a posé
Γ
lω (z)
=
lΓω (z)
− inf
r
e
h∈H
Z1 F(ω) 2 1
˙e 2 e
|hs | + Γ F(ω)s Xs (h)
ds
2 0
Z1 X
l
F(ω) e
dYsj
−
Γj F(ω)s Xs (h)
(31)
(32)
0 j=1
Le 1) du théorème résulte directement du théorème 3.
Le 2) résulte du 1) et de l’expression (15) en faisant A = Ωn
x.
Remarque :
R1 . Signalons le fait que si les σj sont tous nuls on retrouve les résultats de Hijab
[3].
R2 . On peut enlever l’hypothèse H2 en considérant le couple
Rt
Ct = Xt , 0 Γ (Xs )dYs
= C1,s , C2,t
via la théorie des décompositions de flots. Alors l’intégration en dY dans l’exponentielle de Girsanov est éliminée.
REFERENCES
[1] G. Ben Arous & F. Castell, Flow Decompositions and Large Deviations.J.
Funct.Analysis,140,(1996),23-67.
[2] J.M. Bismut, A Generalized Formula of Ito and Some Properties of Stochastic
Flows. Zeitschrift fûr Warscheinlichkeitstheorie, vol. 55, (1981), 99-125.
[3] O. Hijab, Asymptotic Bayesian Estimation of a First Order Equation with
Small Diffusion. The Annals of Probability, vol 12, no 3,(1984), 890-902.
[4] H. Kunita, On the Decomposition of Solutions of Stochastic Differential Equations. Stochastics Integrals, Proceeding, L.M.S. Durham Symposium 1980 Lecture
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