Représentation vectorielle des signaux

1E. TISSERAND
NANCY Université
Représentation vectorielle des signaux
I - Notions vectorielles étendues aux signaux
1) Vecteurs (rappels)
a) Vecteurs en géométrie euclidienne – Base de décomposition
b) Produit scalaire de deux vecteurs
c) Orthogonalité
d) Norme d'un vecteur
e) Distance euclidienne entre deux vecteurs
2) Extension aux signaux (réels dans ce cours)
a) Produit scalaire de deux signaux dans un intervalle donné
t2
Un signal x(t) est dit à énergie finie sur un intervalle [t1 ; t 2] si l’intégrale ∫ [(x(t)]2 dt existe
t1
Considérons deux signaux réels x(t) et y(t) à énergie finie. Leur produit scalaire de dans
t2
l’intervalle [t1 ; t 2] est défini par: < x , y >= ∫ x(t)y(t)dt
t1
b) Orthogonalité de deux signaux dans un intervalle donné
Deux signaux x(t) et y(t) sont orthogonaux dans un intervalle donné si leur produit scalaire dans
cet intervalle est nul. x ⊥ y ⇔< x , y >= 0
c) Norme d'un signal dans un intervalle donné
Par analogie au cas vectoriel, la norme d'un signal x(t) s'écrit :
x = < x, x > =
t2
2
∫ [(x(t)] dt
t1
d) Distance euclidienne entre deux signaux
Par définition la distance euclidienne entre deux vecteurs est la norme du vecteur différence d'où:
d( x, y) = x - y = < x - y, x - y > =
t2
2
∫ [(x(t) - y(t)] dt
t1
e) Cas des signaux périodiques (T0)
t1 + T0
t2
Il suffit de remplacer ∫
t1
par
∫
t1
3) Extension aux signaux numériques
Considérons deux suites numériques réelles x k et yk dans un intervalle [K1 ; K 2]
Les définitions précédentes peuvent être étendues sans difficulté à ces signaux
1
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Produit scalaire
Orthogonalité
K2
< x, y >= ∑ x k y k
Norme
x =
x ⊥ y ⇔< x , y >= 0
k =K1
Distance euclidienne
K2
∑ x 2k
k =K1
d(x, y) =
K2
2
∑ (x k - y k )
k =K1
II - Développement d’un signal dans une famille de fonctions
1) Objectifs
Considérons un signal x(t) à énergie finie sur l'intervalle [t1 ; t 2]
On souhaite approcher le mieux possible ce signal par un développement du type:
N
xˆ ( t ) = ∑ a n f n ( t )
(1)
n =1
où fn (t) est un membre d'une famille de fonctions.
an sont les coefficients du développement
On notera e( t ) = x ( t ) − xˆ ( t ) le signal d'erreur d'approximation.
2) Approximation au sens des moindres carrés
L'approximation de x(t) par xˆ(t) est optimale au sens des moindres carrés si la distance euclidienne
d(x,xˆ) est minimale. Cette situation est obtenue lorsque:
< e, fi >= 0 ⇔< x, fi >=< xˆ, fi > pour 1 ≤ i ≤ N
(2)
Ces conditions constituent une généralisation du théorème de la projection en géométrie euclidienne
qui stipule que la plus courte distance d'un point à un plan est la longueur de la perpendiculaire
abaissée du point au plan.
3) Détermination des coefficients du développement
a) Système à résoudre
En développant la formulation générale (2) nous obtenons le système d'équations suivant:
N
< x , f1 >= ∑ a n < f1 , f n >
n =1
M
N
< x , f i >= ∑ a n < f i , f n >
n =1
M
N
< x , f N >= ∑ a n < f N , f n >
n =1
où en utilisant une notation matricielle: X = [M]A
 < x , f1 > 
 < f1 , f1 > < f1 , f n > < f1 , f N > 
 a1 


 


M
avec: X = 
 , M =  < f i , f1 > < f i , f n > < f i , f N >  , A =  a n 
 < x , f >
a 
< f N , f 1 > < f N , f n > < f N , f N >
N 

 N
2
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b) Solution
Les coefficients optimaux recherchés sont donnés par:
A opt = [M]-1 X
(3)
e) Exemple
On cherche à approcher le signal x(t) = rect(t-0,5) à l'aide d'une combinaison linéaire de 3 fonctions
du type f n ( t ) = e -nt dans l'intervalle [0 ; + ∞[
Les éléments de la matrice M sont donnés par les produits scalaires suivants:
+∞
∫e
< f i , f n >=
-(i + n)t
dt =
t =0
1
pour 1 ≤ i ≤ 3 et 1 ≤ n ≤ 3
i+n
1 / 2 1 / 3 1 / 4
 72
1 / 4 1 / 5 1 / 6
 180
Nous en déduisons: [ M] = 1 / 3 1 / 4 1 / 5 [ M] −1 = − 240



− 240 180 
900 − 720
− 720 600 
Le vecteur colonne X est donné par les termes < x, f n > pour 1 ≤ n ≤ 4
+∞
1
t =0
t =0
< x, f n >= ∫ x(t)e -nt dt = ∫ e -nt dt =
1
(1 - e -n )
n
 0,632 


Le vecteur X vaut ainsi : X =  0,432 
 0,316 


 aˆ 1 = −1,234 


En appliquant l'équation (5.x), nous obtenons : A opt =  aˆ 2 = 9,338 
 aˆ = −7,454 
 1

L'approximation optimale du signal x(t) est donnée par:
xˆ ( t ) = −1,234 e -t + 9,338 e -2t − 7,4542 e -3t
4) Erreur quadratique de l'approximation
On définit l'erreur quadratique de l'approximation par:
2
e = d 2 ( x, xˆ) =< x - xˆ, x - xˆ >
Lorsque l'approximation est optimale au sens des moindres carrés nous avons:
< x, xˆ >=< xˆ + e, xˆ >=< xˆ, xˆ > en effet: < e, xˆ >= 0 car < e, f i >= 0 , ∀i
Dans ce cas:
2
2
2
2
e = x + xˆ - 2 < x, xˆ >= x − xˆ
ou encore:
e
2
= x
2
2
N N
− ∑ ∑ a nai < fn , fi >
n =1 i =1
5) Cas d'une famille de fonctions orthogonales
a) Détermination des coefficients du développement
3
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Lorsque les fonctions fn (t) sont orthogonales deux à deux nous avons:
 0,∀n ≠i
< f n , f i >= 
2
 f n , pour n = i
La matrice M se réduit à la forme diagonale suivante :
f 2 0
L L
0 
 1

O O
M 
 0
2
[M] =  M
O fn
O
M 


 M
O O
0 

2
L L
0 fN 
 0
Les coefficients du développement sont détermines simplement par:
< x, f n >
an =
pour 1 ≤ n ≤ N
2
fn
b) Erreur quadratique de l'approximation
En ce qui concerne l'erreur quadratique optimale, elle devient:
e
2
= x
2
N
− ∑ a 2n f n
2
n =1
III - Quelques familles de fonctions orthogonales
1) Séries de Fourier
t
t
Les couples cos(n 2π ) , sin (n 2π ) définis pour n variant de 0 à l'infini, forment un ensemble
To
To
de fonctions orthogonales sur l'intervalle [ t x ; t x + T0 ]
Un signal x(t) , périodique de période T0 , peut être approché par un développement du type :
a 0 +∞
t
t
x(t ) =
+ ∑ a n cos(n 2π ) + b n sin (n 2π )
2 n =1
T0
T0
2) Fonctions de Walsh
La famille des fonctions de Walsh W n (t) permet d'approcher tout signal à énergie finie sur un
intervalle T . Elles forment un ensemble complet ce qui permet d'atteindre toute précision souhaitée
en adaptant le nombre N des éléments du développement. En d'autre mots e → 0 pour N → + ∞ .
Ces fonctions ne prennent que les valeurs +1 ou –1 en changeant n fois de signe dans l'intervalle
ouvert [0 ; T[ . Leur détermination analytique obéit à la relation suivante :
r -1
t 

W n (t) = ∏ Signe cos(n j 2 j π )
T 

j=0
r est la plus petite puissance de 2 supérieure à n
r -1
n j est l'état du jème bit du code binaire de n : n = ∑ n j 2 j
j= 0
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Les seize premières fonctions de Walsh
En pratique, pour construire rapidement les autres signaux, il est intéressant d'utiliser la propriété
suivante : Wn ⊕m = Wn ⋅ Wm
L'opération n ⊕m représente l'addition modulo 2. Pour la réaliser, les indices n et m doivent être
exprimés en code binaire.
Exemple 0001 ⊕ 0011 = 0010 ⇔ 1 ⊕ 3 = 2 W2 = W1 ⋅ W3
IV - Principe d’un analyseur/synthétiseur de signaux à l’aide de fonctions orthogonales
Analyseur
Synthétiseur
5

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