Chapitre 1 – Fonctions de référence Activité

Chapitre 1 – Fonctions de référence
Activité
Activité 1 : la fonction racine
Exercice 1 : découverte sur Géogebra
Partie A :
Soit , deux points distincts, soit le cercle de diamètre
le point du segment
tel que
et
soient perpendiculaires
1- Faire une figure en utilisant les instruments de géométrie (règles, équerre, compas …)
2- On note
,
ou a, b et h sont 3 réels positifs. Montrer que
√
Partie B : sur Géogebra
On munit le plan d’un repère orthonormé.
1- A l’aide de geogebra, reproduire ce dessin sachant que :

1; 0 ,
; 0 avec b réel positif (on utilisera un curseur dont on
effectuera les réglages et que l’on nommera b)
 Le demi-cercle de diamètre
intercepte l’axe des ordonnées au point C
 Le point a même abscisse que et même ordonnée que le point
2- Créer une animation de curseur en activant la trace du point M.
3- Ecrire les coordonnées du point en fonction de .
4- Donner l’équation de la courbe décrite par le point , pour parcourant 0; ∞
5- Qu’a-t-on construit comme représentation graphique ?
Exercice 2 : Etude de la fonction racine à l’aide de la calculatrice
Soit la fonction définie sur un intervalle I telle que
√
1- Déterminer le plus grand intervalle I admissible.
2- compléter le tableau :
1
0
1
2
4
6
8
9
11
13
3- Démontrer que est strictement croissante sur I
4- Dresser le tableau de variation de .
5- Représenter la courbe représentative de f sur votre feuille. On limitera la représentation à
0
13
6- Soit la fonction définie sur I telle que
.
Résoudre l’équation
sur I
Exercice 3 : application à √ .
Reprendre l’exercice 1 pour
√2
Pour les questions 2 et 3, on prendra pour
3
: -1,5 ;0 ;1 ;2 ;3 ;5 ;8 ;10 ;12
Exercice 4 : simplifications
√
a-
. . . √…
√
b-
. . .
√…
√
c-
√
d-
. . . √…
Activité 2 : Polynômes du second degré.
Exercice 1 : mise en situation Etude géométrique
Soit ∈ . En utilisant la méthode de votre choix, trouver
rectangle en A.
pour que le triangle
soit
C
2
3
2
2
A
B
Exercice 2 : Etude de fonctions trinômes
Soit le trinôme définie sur
par
12
2
7
1- Donner une représentation graphique de la fonction . L’équation
elle des solutions ? (en spécifier le nombre)
2- Donner le forme canonique de
.
a- A partir de cette forme, peut on trouver les solutions de
0.
b- A partir de cette forme, peut on trouver la forme factorisée de
.
3
Reprendre l’étude précédente avec
4
8
4
6
Exercice 3 : Généralisation- démonstrations
Soit le trinôme
(a,b,c réels et a
2
0
4 puis avec
0 admet-
1- Quelle est le nom de la représentation graphique de ce trinôme. Donnez une allure
(grossière) de la courbe représentative lorsque
0
0.
2- Proposer une méthode permettant d’obtenir la forme canonique de ce trinôme. (les
coefficients de la forme canonique dépendent bien entendu de a,b,c.)
3- L’équation
0 admet elle toujours une solution. Précisez éventuellement ces
solutions.
4- Le trinôme
admet il toujours une forme factorisée. Précisez éventuellement la
forme factorisée de .
5- Complétez le tableau suivant :
6forme
développée
Forme canonique.
Signe
de 
Discriminant
Racines (si elles
existent)
Forme factorisée
0
ax  bx  c
2
0
0
Exercice 4: Etude économique
Une entreprise développe des jeux vidéo.
Pour une quantité x, exprimée en milliers de jeux, le coût total en milliers d’euros est de :
10
∈ 0;100]
50
0.1
La recette est alors :
48
Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût total. On suppose que tous les jeux
produits sont vendus.
Déterminer le nombre de jeux vidéo à produire pour que l’entreprise soit bénéficiaire.
Aide : On démontrera que
peut se mettre sous la forme canonique de
0,1
10
20
Exercice 5 : Signe du trinôme
Etudier sur le signe des 3 fonctions , de l’exercice 2.
Exercice 6 : Signe du trinôme-établissement d’une règle
Démontrer la propriété surlignée :
Forme
développée
Signe
de 
Forme
factorisée
Racines (si elles existent)
0
b 
x0 
2a
0
b
2a
(valeur ou l’on atteint
l’extremum dans les trois cas)
a  x  x0 
0
Pas de racine
Pas de
factorisation
ax 2  bx  c
et
b
x1 
2a
a  x  x1  x  x0 
Une racine double : x0 
3
Signe du polynôme.
Signe de a à l’extérieur des racnes
x
x0
x1
Signe
Signe
Signe
de a
de a
de a
Du signe de a
2
(s’annule une fois en
Du signe de
a
b
)
2a
Exercice 7 : synthèse. résoudre dans
a- 2√4
4
3
2 2x 1
b- √
Activité 3 : La valeur absolue
Exercice 1 : découverte de la valeur absolue
On prend pour unité graphique 1= 1cm.
1- Tracer la droite réelle et placer les points O, A, B, C, D d’abscisse 0; 2; 6; 3 1
2-Calcul de la distance pour deux abscisses positives
a - Calculer les distances OA, OB, AB et BA. En utilisant la règle, vérifiez vos affirmations.
b- Expliquer par une phrase comment on peut calculer la distance entre deux points ayant
chacun, une abscisse positive.
3- Calcul de la distance pour deux abscisses négatives
a - Calculer les distances OC et OD puis DC et BC. En utilisant la règle, vérifiez vos
affirmations.
b- La méthode du 2-b est elle toujours valable ?
4- Calcul de la distance pour une abscisse négative et une positive
a- Calculer la distance BC et DA. En utilisant la règle, vérifiez vos affirmations.
b- La méthode du 2-b est elle toujours valable ?
Soit 3 points E, F, G, H d’abscisses respectives ;√11;
; √2
5- En utilisant la méthode vue précédemment calculer la distance EF,GH et FG
Exercice 2 : TP algo 2
Exercice 3: distance entre 2 points
On place 5 et sur la droite réelle.
a. Calculer la distance exacte entre 5 et .
b. Y-a-t-il un autre nombre réel qui soit à cette même distance de 5 ?
Exercice 4 : Ecrire à l’aide d’une valeur absolue la distance entre les réels :
a. 3
d. 4
e.
3
b. 1 √3
c. 3 .
Exercice 5 : Résoudre dans chacune des équations suivantes
a. | | 0
c.|
2| 4
| 4
d.|4
b. | | √2 1
Exercice 6 : Résoudre dans chacune des inéquations suivantes
a. | | 6
d.|
3| 4
|
|
b.
√2
c.|
3| 4
4
Exercice 7 : Résoudre dans chacune des équations suivante
a. |
4| |
9|
c.|
3| |2
b. |
2| |
2|
|
Exercice 8 : représentation graphique
exercice 94 p39 (livre)
Exercice 9 : représentation graphique
Soit une fonction définie sur par
4.
a- Dans un repère, tracer la représentation graphique de .
b- En déduire la représentation graphique de définie sur
par
|
5
4|.
Activité 4 : Croissance des fonctions associées
Exercice 1 : découverte sur Géogebra u+k et ku
1- a/ Représenter sur geogebra la fonction u définie sur par
3
2
b/ Par lecture graphique , dresser son tableau de variation
2- Pour différentes valeurs du nombre , tracez la courbe représentant la fonction
définie sur
par
(conseil : utilisez un curseur pour k)
Quelle conjecture peut-on faire sur le sens de variation de et de 3- Reprendre la question 2 pour les fonctions définies sur par
 Cours : somme de fonctions
Propriété 1 : Soit un réel k et u une fonction définie sur un intervalle I. Les
fonctions u et u+k ont le même sens de variation sur I
Exercice 2 : croissance d’une fonction u+k
1- Démontrer la propriété 1.
2- Application : En utilisant la propriété 1,déterminer le sens de variation de définie sur
0; ∞[ par
 Cours : produit par une constante
Propriété 2 : Soit un réel et une fonction définie sur un intervalle I.
 Si
0 alors . ont le même sens de variation sur I
 Si
0 alors . ont des sens de variation contraires sur I
Exercice 3 : croissance d’une fonction .
1- Démontrer la propriété 2.
2- Application : En utilisant la propriété 2, déterminer le sens de variation de définie
sur 0; ∞[ par
4√
 Cours : racine carrée
Propriété 3 : Soit une fonction définie sur un intervalle I telle que pour tout x de
I,
. La fonction √ est la fonction définie sur I par : Les fonction u et √ ont le même sens de variation sur I.
Exercice 4 : croissance d’une fonction √
1- Démontrer la propriété 3.
5
2- Application : déterminer le sens de variation de
√ 3
définie sur
∞;
par
2
 Cours : fonction inverse
Propriété 4 : Soit une fonction définie sur un intervalle I telle que pour tout x de
I,
a un signe constant et ne s’annule pas. La fonction est la fonction définie
sur I par : Les fonctions u et ont des sens de variation contraires sur I.
Exercice 5 : croissance d’une fonction
1- Démontrer la propriété 4.
2- Application : déterminer le sens de variation de
6
définie sur 0; ∞[ par
7

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