Chapitre 4 Généralités sur les fonctions - Perpendiculaires

Chapitre 4
Généralités sur les fonctions
Sommaire
4.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
4.2 Notion de fonction (rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.2 Ensemble de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.3 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.4 Courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3 Opérations sur les fonctions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
4.3.1 Opérations algébriques sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3.2 Variations de f + g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3.3 Fonctions associées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3.4 Fonctions composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3.5 Comparaisons de fonctions – Positions relatives de courbes . . . . . . . . . . . . 47
4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
4.1 Activités
A CTIVITÉ 4.1 (Fonctions de référence (rappels)).
Pour chacune des fonctions de référence suivantes, rappeler :
• leur définition
• leurs variations
• leur ensemble de définition
• l’allure de leur courbe
1. affine
2. carrée
3. cube
4. inverse
A CTIVITÉ 4.2 (La fonction racine).
p
On appelle
¡p ¢2 fonction racine la fonction qui à un réel x associe, s’il existe, le réel positif, noté x, tel
que x = x.
1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction racine.
p
p
a
<
b. Que peut-on en déduire ?
2. Montrer que si 0 6 a < b¡ alors
p ¢2
Indication : si x positif, x = x
3. Tracer la courbe représentative de la fonction racine.
41
4.1 Activités
Première S
A CTIVITÉ 4.3 (Valeur absolue).
Partie A : Définition
On appelle valeur absolue d’un réel x le réel, noté |x|, tel que :
½
Si x > 0 alors |x| = x
Si x 6 0 alors |x| = −x
1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction valeur absolue.
2. Montrer que si 0 6 a < b alors |a| < |b|. Que peut-on en déduire ?
3. Montrer que si a < b 6 0 alors |a| > |b|. Que peut-on en déduire ?
4. Tracer la courbe représentative de la fonction valeur absolue.
Partie B : Utilisation
1. On appelle distance entre deux nombres réels a et b, la distance entre les points A et B d’abscisses respectives a et b sur la droite réelle munie d’un repère (O ;~ı).
(a) Dans chacun des cas suivants, déterminer la distance entre les deux nombres réels :
• 2 et 3
• −1 et 3
• 0 et 3
• 3 et −1
• −2 et −4
• 0 et −3
(b) Conjecturer le lien entre distance entre deux réels et valeur absolue.
En se basant sur les deux dernières distances calculées dans la question précédente,
donner une nouvelle définition de |x|.
2. On appelle centre de l’intervalle [a ; b] le nombre
nombre b − a.
a+b
2
et amplitude de l’intervalle [a ; b] le
(a) Traduire « x ∈ [2 ; 4] » en termes de distance entre des nombres.
(b) Traduire les inégalités suivantes en intervalles :
• |x − 1| 6 2
• |x + 2| < 3
• |x − 1| > 4
(c) Traduire en français la phrase suivante :
p
¯ ¯
¯1¯
∀ǫ > 0, ∃N ∈ N | n > N ⇒ ¯¯ ¯¯ < ǫ
n
x 2 dans les cas suivants :
• x = −3
p
En déduire la valeur de x 2 .
3. Calculer
• x =3
• |x + 3| > 1
• x =2
• x = −2
A CTIVITÉ 4.4 (Sommes de fonctions).
Partie A.
Sur le graphique de la figure 4.1 page suivante, on donne la courbe représentative d’une fonction
affine f et d’une fonction trinôme g .
1. Donner, par lecture graphique, les variations de f et celles de g .
2. On appelle h la fonction h = f + g .
(a) Tracer la courbe représentant la fonction h.
On procèdera point par point.
(b) Donner, par lecture graphique, les variations de la fonction h.
(c) Y a-t-il un lien entre les variations de f et de g et celles de h ?
42
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4.1 Activités
Première S
F IGURE 4.1: Graphique de l’activité 4.4
y
6
5
4
3
2
1
~
−1
O
x
~ı
1
2
3
4
−1
Partie B.
Avec les fonctions f et g (définies sur R) données ci-dessous, déterminer le sens de variation de f ,
le sens de variation de g puis le sens de variation de la fonction h = f + g .
• f (x) = 2x + 3 et g (x) = x − 4 ;
• f (x) = −3x + 2 et g (x) = x − 4 ;
• f (x) = −2x + 4 et g (x) = x + 1 ;
• f (x) = −x + 4 et g (x) = −2x + 3.
• f (x) = −2x + 1 et g (x) = 2x − 4 ;
Partie C.
À l’aide de votre calculatrice graphique ou d’un grapheur (Geogebra, par exemple), avec les fonctions f et g données ci-dessous, par lecture graphique, déterminer les variations de f , celles de g
puis celles de la fonction h = f + g .
• f (x) = x 2 − 1 et g (x) = x + 1 ;
• f (x) = −x 3 et g (x) = −x + 2 ;
1
1
.
• pour x 6= −2, f (x) = 2x +1 et g (x) = 2− x+2
• pour x 6= 0, f (x) = x et g (x) = ;
x
Partie D.
Conjecturer le lien éventuel qu’il existe entre les variations de f et g et celles de h = f + g puis le
prouver.
A CTIVITÉ 4.5 (Fonctions associées).
Soient f , g , h et i les fonctions définies par :
p
• f (x) = x pour x ∈ R+
p
• g (x) = 3 + x pour x ∈ R+
p
• h(x) = − x pour x ∈ R+
p
• i (x) = 4 x pour x ∈ R+
1. À l’aide d’une calculatrice graphique ou d’un grapheur, tracer la courbe représentative de f
puis celle de g .
2. Décrire la transformation permettant de passer de la courbe de f à celle de g en précisant ses
caractéristiques si cette transformation est une transformation usuelle (symétrie, etc.).
3. Mêmes questions en remplaçant g par chacune des autres fonctions.
A CTIVITÉ 4.6 (Fonctions composées).
La fonction f est définie sur R par f (x) = x 2 −
p3x − 2.
1
Les fonctions g et h sont définies par g (x) = f (x) et h(x) = f (x)
.
On appelle C f , C g et C h leurs courbes représentatives respectives.
David ROBERT
43
4.2 Notion de fonction (rappels)
Première S
1. Étude de g .
(a) Déterminer l’ensemble de définition de g , noté D g .
(b) À l’aide d’une calculatrice graphique ou d’un grapheur, tracer C f et C g .
Que peut-on conjecturer sur le lien entre les variations de f et celles de g ?
(c) Montrer que si une fonction
p positive f est croissante (respectivement décroissante) sur
un intervalle I , alors g = f l’est aussi.
2. Étude de h.
(a) Déterminer l’ensemble de définition de h, noté D h .
(b) À l’aide d’une calculatrice graphique ou d’un grapheur, tracer C f et C h .
Que peut-on conjecturer sur le lien entre les variations de f et celles de h ?
(c) Montrer que si une fonction non nulle f est croissante (respectivement décroissante)
sur un intervalle I , alors h = 1f est décroissante (respectivement croissante) sur I .
4.2 Notion de fonction (rappels)
4.2.1 Définition
Définition 4.1 (Définition, vocabulaire et notations). Soit D un intervalle ou une réunion d’intervalles de R.
Définir une fonction f sur un ensemble D, c’est associer, à chaque réel x ∈ D, au plus un réel noté
f (x).
On dit que f (x) est l’image de x par f et que x est un antécédent de f (x).
On note :
f : D −→
R
x 7−→ f (x)
et on lit « f , la fonction de D dans R qui à x associe f (x) ».
Remarque. f désigne la fonction, f (x) désigne le réel qui est l’image de x par f .
4.2.2 Ensemble de définition
Définition 4.2 (Ensemble de définition). L’ensemble des réels possédant une image par une fonction est appelé ensemble de définition de la fonction. On le note en général D f .
On le détermine par le calcul. À notre niveau les seuls problèmes de définition portent sur les fonctions comportant la variable x au dénominateur ou sous une racine.
4.2.3 Variations
Définition 4.3 (Rappels). Soit f une fonction définie sur un intervalle I . On dit que
• f est croissante sur I si pour tous réels a et b de I on a : si a < b, alors f (a) 6 f (b) ;
• f est décroissante sur I si pour tous réels a et b de I on a : si a < b, alors f (a) > f (b) ;
• f est constante sur I si pour tous réels a et b de I on a : f (a) = f (b) ;
• f est monotone sur I si f ne change pas de sens de variation sur I .
Remarque. On obtient les définitions de strictement croissante ou décroissante en remplaçant les
inégalités larges par des inégalités strictes.
44
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4.3 Opérations sur les fonctions
Première S
4.2.4 Courbe
Définition
4.4 (Courbe représentative). Dans un repère, l’ensemble des points M de coordonnées
¡
¢
x ; y où x décrit D f et y = f (x) est appelé courbe représentative (ou représentation graphique)
de la fonction f . On la note en général C f .
On dit que la courbe C f a pour équation y = f (x).
On veillera à ne pas confondre la fonction et sa représentation graphique.
4.3 Opérations sur les fonctions
4.3.1 Opérations algébriques sur les fonctions
De la même manière qu’on peut ajouter, multiplier, diviser, etc. des nombres, on peut ajouter, multiplier, diviser, etc. des fonctions.
Définition 4.5. Soit f et g deux fonctions définies au moins sur D et k un réel. Le tableau suivant
regroupe les opérations sur les fonctions f et g :
Opération
Somme de la fonction f et
du réel k
Produit de la fonction f et
du réel k
Somme des fonctions f et
g
Différence des fonctions f
et g
Produit des fonctions f et g
Quotient des fonctions f et
g
Notation
Définition
f +k
( f + k)(x) = f (x) + k
kf
(k f )(x) = k f (x)
f +g
( f + g )(x) = f (x) + g (x)
f −g
( f − g )(x) = f (x) − g (x)
fg
f
g
( f g )(x) = f (x) × g (x)
µ ¶
f (x)
f
(x) =
g
g (x)
Définie pour
x ∈Df
x ∈ D f ∩ Dg
x ∈ D f ∩ D g et g (x) 6= 0
4.3.2 Variations de f + g
Propriété 4.1 (Variations de f + g ). Soit deux fonctions f et g définies au moins sur un ensemble
D.
• Si f et g sont deux fonctions croissantes sur D, alors la fonction f + g est croissante sur D.
• Si f et g sont deux fonctions décroissantes sur D, alors la fonction f + g est décroissante sur
D.
Preuve. Voir l’activité 4.4
♦
4.3.3 Fonctions associées
Définition
Définition 4.6. Soit f une fonction définie sur D et k un réel.
On appelle fonctions associées à f les fonctions : x 7→ f (x) + k ou x 7→ k f (x)
David ROBERT
45
4.3 Opérations sur les fonctions
Première S
Variations
Propriété 4.2 (Variations de f + k). Soit f une fonction définie et monotone sur un intervalle I et
k un réel. Les fonctions f et f + k ont même sens de variation sur I .
Preuve. Si f est croissante et a < b, alors f (a) 6 f (b). Donc f (a) + k 6 f (b) + k donc f + k est aussi
croissante.
On démontre de la même manière si f est décroissante.
♦
Exemple. La fonction f : x 7−→ x 2 + 2 a les mêmes variations que la fonction carrée.
Propriété 4.3 (Variations de k f ). Soit f une fonction définie et monotone sur D.
• Si k > 0 alors les fonctions f et k f ont le même sens de variation sur D.
• Si k < 0 alors les fonctions f et k f ont des sens de variation opposés sur D.
Preuve. Voir l’exercice 4.5.
♦
Courbes
¡
¢
Propriété 4.4. Le plan est muni d’un repère O ;~ı,~ .
Soit f une fonction définie sur D et k un réel.
• La courbe de f + k s’obtient à partir de celle de f par une translation de vecteur k ~
j
• Dans un repère orthogonal, la courbe de − f s’obtient à partir de celle de f par la symétrie
par rapport à l’axe des abscisses
On l’admettra.
4.3.4 Fonctions composées
Conformément au programme on se limitera aux cas mentionnés dans la définition ci-dessous.
Définition
Définition 4.7. Soit u une fonction définie sur un intervalle I .
p
• La fonction u est définie pour tout x ∈ I tel que u(x) > 0 et s’appelle la composée de la
fonction racine et de u.
• La fonction u1 est définie pour tout x ∈ I tel que u(x) 6= 0 et s’appelle la composée de la
fonction inverse et de u.
Variations
p
Propriété 4.5 (Variations de u ). Soit u définie sur D et telle que u > 0.
p
Alors u et u ont les mêmes variations.
Propriété 4.6 (Variations de u1 ). Soit u définie sur D et telle que u 6= 0.
Alors u et u1 ont des variations opposées.
Preuve. Ces deux propriétés ont été démontrées dans l’activité 4.6.
46
♦
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4.4 Exercices
Première S
4.3.5 Comparaisons de fonctions – Positions relatives de courbes
Étudier les positions relatives des courbes de f et g c’est déterminer sur quel(s) intervalle(s) la
courbe de f est au-dessus de celle de g et réciproquement. Cela revient à comparer les deux fonctions f et g , c’est-à-dire à déterminer si f (x) = g (x) pour tout x et, sinon, sur quel(s) intervalle(s) on
a f (x) > g (x) et f (x) < g (x).
Définition 4.8 (Égalité de deux fonctions). Soit f et g deux fonctions.
On dit que f et g sont égales si :
• f et g ont même ensemble de définition D ;
• pour tout x ∈ D, f (x) = g (x).
On note alors f = g .
Définition 4.9. Soit D une partie de R et f et g deux fonctions définies au moins sur D.
On dit que f est inférieure à g sur D lorsque f (x) 6 g (x) pour tout x ∈ D.
On note f 6 g sur D.
Remarque. On dit parfois que f est majorée par g sur D ou que g est minorée par f sur D.
Les conséquences graphiques sont les suivantes :
Propriété 4.7. Soient f et g deux fonctions définies au moins sur D, C f et C g leurs courbes respectives. Alors si f 6 g sur D, C f est au-dessous de C g .
Preuve. Immédiat.
♦
4.4 Exercices
E XERCICE 4.1.
Soient f et g les fonctions définies sur R par : f (x) = −x 3 + 4x et g (x) = −x 2 + 4. On a tracé sur le
graphique ci-contre les courbes représentatives de f et de g .
1. Associer chaque courbe à la fonction
y
qu’elle représente. Justifier succintement.
4
2. Déterminer graphiquement le nombre de
C
solution des équations :
3
• f (x) = 0 ;
2
• g (x) = 0 ;
• f (x) = g (x).
1
3. Résoudre par le calcul : f (x) = 0 et g (x) = 0
4. Résoudre graphiquement : f (x) 6 g (x).
5. Un logiciel de calcul formel affiche les
choses suivantes :
(%i1) factor(-x^3+x^2+4*x-4);
(%o1)
- (x - 2) (x - 1) (x + 2)
~
−3
−2
−1
O
−1
1
2
3 x
−2
C′
−3
(a) Interpréter ces deux lignes.
−4
(b) En déduire une résolution algébrique
de l’inéquation f (x) 6 g (x).
−5
David ROBERT
~ı
47
4.4 Exercices
Première S
E XERCICE 4.2.
Dans chacun des cas suivants déterminer si f (x) = g (x) pour tout réel x :
p
p
1. f (x) = x 2 et g (x) = ( x)2 ;
3. f (x) = x 2 − 2x + 5 et g (x) = (x − 1)2 + 4 ;
2. f (x) = x + 1 − x1 et g (x) =
x 2 +x−1
x
;
4. f (x) =
x 2 +x−2
x+2
E XERCICE 4.3.
On donne les fonctions f , g et h suivantes :
• f (x) = x ;
• g (x) = x 2 ;
Leurs courbes sont notées, respectivement, C f , C g et C h .
Sur [O ; +∞[, étudier les positions relatives :
1. de C f et de C g ;
2. de C f et de C h ;
et g (x) = x − 1.
• h(x) =
p
x.
3. de C g et de C h .
E XERCICE 4.4.
1
1
Soient f et g définies sur R par : f (x) = 1+x
4 et g (x) = 1+x 2 .
Étudier les positions relatives de leurs courbes respectives.
E XERCICE 4.5 (Preuve de la propriété 4.3).
Montrer que :
• si a et b sont deux nombres de D tels que a < b
• si f croissante sur D
• et si k < 0
alors k f (a) > k f (b).
Conclure.
E XERCICE 4.6.
On a représenté sur la figure ci-dessous la courbe d’une fonction f définie sur R.
Tracer sur cette même figure les courbes des fonctions suivantes :
• u = f +2;
• v = −2 f ;
• w(x) = | f |.
F IGURE 4.2: Graphique de l’exercice 4.6
y
5
4
3
2
1
~
−6
−5
−4
−3
−2
−1 O
−1
~ı 1
2
3
4
5
6x
−2
−3
−4
−5
−6
48
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4.4 Exercices
Première S
E XERCICE 4.7.
2
−5x+1
.
Soit f la fonction définie sur R\{3} par : f (x) = 2x x−3
On appelle C sa courbe représentative.
c
.
1. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout réel x, f (x) = ax + b + x−3
2. Soit D la droite représentative de la fonction g définie sur R par g (x) = 2x + 1.
Étudier les positions relatives de C et de D.
E XERCICE 4.8.
Soit g la fonction définie par : g (x) =
x 2 +1
x 2 −1
1. Déterminer son ensemble de définition.
2. Étudier le signe de g (x) selon les valeurs de x.
3. Étudier les positions relatives de la courbe de g et de la droite d’équation y = 1.
E XERCICE 4.9.
L’objectif de cet exercice est d’étudier la fonction f définie sur R\{−1} par :
f (x) =
Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire.
On considère la fonction g définie par : g (x) =
1
.
1. Étudier les variations de x 7→ x+1
x 2 + 2x − 3
x +1
−4
x+1
2. En déduire les variations de g .
Partie B.
1. Déterminer les réels a, b et c tels que :
c
pour tout x ∈ R\{−1}.
f (x) = ax + b + x+1
2. En déduire les variations de la fonction f .
¡
¢
3. On appelle C la représentation graphique de f dans un repère O;~ı,~ .
(a) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de C avec chacun des axes du
repère.
(b) D est la droite d’équation y = x + 1. Déterminer les positions relatives de D et de C .
(c) Placer les points trouvés à la question 3a et D dans un repère et tracer soigneusement
C.
E XERCICE 4.10.
Soit f la fonction définie sur R\{2} par :
f (x) =
On appelle C sa courbe représentative.
1.
−x 2 + 5x − 4
x −2
c
(a) Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout réel x, f (x) = ax + b + x−2
.
(b) Étudier les variations de x 7→
c
.
x−2
(c) En déduire les variations de f .
2. Étudier les positions relatives de C et de la droite d’équation y = −x + 3.
3. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de C avec les axes de coordonnées.
4. Placer les points et les droites rencontrés dans les questions précédentes dans un même repère et y tracer C .
David ROBERT
49

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