TD modélisation : équations différentielles Exercice 1. Résolvez les équations diﬀérentielles : 1. y 0 = 3y + tet 2. y 0 = y + t2 cos (t) 3. y 0 = y ln (t) + tt 4. y 0 = y + (t + 1) et Exercice 2. Soit (α, β) ∈ R2 . Déterminez l’ensemble des solutions de l’équation diﬀérentielle y 0 = αy + β. Exercice 3. (Évolution du Thorium 230) L’isotope 230 Th résulte de la ﬁssion du 234 U, respectivement de constante radioactive λ2 et λ1 . On dispose d’un échantillon de N atomes de de 234 U, et l’on veut déterminer le nombre d’atomes de 230 Th au cours du temps ; on notera n1 (t) le nombre d’atomes de de 234 U et n2 (t) le nombre d’atomes de de 230 Th. dn1 1. Justiﬁez que = −λ1 n1 (t) et déterminer n1 (t). dt dn2 dn1 2. Justiﬁez que =− − λ2 n2 (t) et déterminer n2 (t). dt dt 3. Dessinez un un graphe de n2 (t) pour t > 0 lorsque λ1 < λ2 . Que pouvez-vous dire du cas λ1 > λ 2 ? Exercice 4. (Modèle de Verhulst) On suppose que le taux d’accroissement instantané d’une population est donné par son accroissement naturel. En formule, si P désigne le nombre d’individus de la population observée, n le taux de natalité et m le taux de mortalité, on a dP = P (n − m) dt On va supposer maintenant que n et m sont les fonctions aﬃnes en P ; c’est donc aussi le cas de leur diﬀérence et il existe deux réels a et b tels que dP = P (a − bP ) dt On admet que le nombre d’individu croît lorsqu’il est faible, ce qui implique que a > 0. 1. Quelle est la limite de P dans le cas b 6 0 ? Qu’en pensez-vous ? a 2. Dans le cas b > 0, on pose K = . Pour quelles valeurs de P la population décroît-elle, b dans quels cas croît-elle ? 1 3. Explicitez les variations de P en fonction de a, de K, et de P (0). On pourra poser Q = . P 4. Quelle est la limite de la fonction obtenue ? Exercice 5. Le mouvement d’une particule chargée M (x, y, z) dans un champ magnétique dirigé suivant l’axe Oz est régi par le système diﬀérentielle :  00 = ωy 0  x 00 y = −ωx0 (E) :  00 z =0 où ω est un paramètre qui dépend du champ magnétique, de la masse de la particule et de sa charge. Résolvez (E). On pourra poser ξ (t) = x0 (t) + iy 0 (t). 1 Exercice 6. Résolvez les équations diﬀérentielles suivantes : 1. y 00 + 4y 0 + 4y = 2t − 3 2. y 00 + 2y 0 + y = t2 + 1 3. y 00 + 4y 0 + 4y = −t2 4. y 00 − 3y 0 + 2y = t − 2 5. y 00 + y 0 + y = 1 6. y 00 − y 0 = t2 + 2 7. y 00 + 4y 0 + 4y = (2t − 3) et 8. y 00 − 3y 0 + 2y = e−3t Exercice 7. (Chute des corps) 1. Une masse ponctuelle en chute libre (soumise uniquement à son propre poids) sur Terre voit sa position (x, y, z) vériﬁer l’équation suivante :  00 =0  x y 00 = 0  00 z = −g Déterminez sa trajectoire en fonction de sa vitesse et position initiale, en supposant que x (0) = y (0) = 0. 2. Une masse ponctuelle en chute freinée (soumise à son propre poids et aux frottements de l’air) sur Terre voit sa hauteur vériﬁer l’équation suivante d2 z α dz = −g + dt2 m dt Déterminez sa hauteur à tout temps en fonction de sa vitesse et position initiale. Exercice 8. En régime stationnaire, la température dans le sous-sol, T , obéit à l’équation λ d2 T +Q=0 dz 2 où z désigne la profondeur, λ la conductibilité thermique et Q la production de chaleur par unité de volume due aux éléments radioactifs. On suppose ici que λ est constant. On désignera par T0 dT et k0 les valeurs en surface de la température T et du gradient géothermique . dz 1. Exprimez T en fonction de z dans le cas où Q est une constante. 2. Exprimez T en fonction de z dans le cas où Q = Q0 e− h . z 2