IUT de Chambéry - 1ère année GCCD et PEC 2014-2015

IUT de Chambéry - 1ère année GCCD et PEC
2014-2015
TD 2 DE MATHÉMATIQUES - CORRIGÉ
CALCUL VECTORIEL ET GÉOMÉTRIE
Exercice 1.
(1) Vérifier les 8 axiomes qui font de R3 un R-espace vectoriel.
(2) Idem pour une droite D de R3 passant par l’origine définie par
ax + by + cz = 0
.
a0 x + b0 y + c0 z = 0
(3) Justifier
que
les
ensembles
suivants
ne
sont
pas
des
espaces
vectoriels
:
(x, y) ∈ R2 | xy =
2
2
0 ; (x, y) ∈ R | x = 1 ; (x, y) ∈ R | x ≥ 0 et y ≥ 0 ; (x, y) ∈ R2 | −1 ≤ x ≤
1 et − 1 ≤ y ≤ 1 .
Correction 1.
Dans tous les exercices qui suivent, sauf mention spéciale, on travail dans le plan muni d’un repère
orthonormé (O,~i, ~j).
Exercice 2. On considère la droite D d’équation :
3x − 4y + 5 = 0.
(1) Donnez les coordonnés de trois points de la droite D
(2) Donnez l’ordonnée d’un vecteur directeur de la droite D d’abscisse 1
(3) Donnez un vecteur normal ~n à la droite D
(4) Le vecteur u~0 = (12, 9)∗ est-il un vecteur directeur de la droite D ?
(5) Le vecteur ~v = (9, −12)∗ est-il un vecteur directeur de la droite D ?
Correction 2.
(1) A = (1; 2) ; B = (0; 54 ) ; C = (−1; 21 )
(2) Un vecteur directeur de la droite est ~u = (4; 3)∗
(3) Un vecteur normal à la droite est ~n = (3; −4)∗
(4) C’est un vecteur directeur de la droite ssi il est colinéaire à ~u. Or il est clair que u~0 = 3~u.
(5) Les vecteurs ~u et ~v ne sont pas colinéaires. Le vecteur ~v n’est donc pas un vecteur directeur
de la droite D
Exercice 3. On donne les coordonnées des points A = (3; 1) et B = (−2; 0). On souhaite déterminer
une médiatrice Dm du segment [AB].
(1) Déterminer les coordonnées du points I milieu du segment [AB].
(2) Déterminer un vecteur normal ~n à la droite Dm .
(3) En déduire une équation cartésienne de la droite Dm .
1
Correction 3.
~ Or AB
~ = (−5; −1)∗ . Donc I = (1/2; 1/2).
(1) Par définition : I = A + 12 AB.
~ On peut
(2) Par définition d’une médiatrice, un vecteur orthogonal à Dm sera colinéaire à AB.
∗
même choisir ce dernier. On pose ~n = (−5; −1) .
(3) Si ~n = (−5; −1)∗ est normal à Dm on sait qu’elle vérifie une équation cartésienne de la
forme :
−5x − y + c = 0,
c un réel. Puisqu’elle passe par le point I, on sait que c est tel que :
5
1
= − + c ⇔ c = 3.
2
2
L’équation cartésienne de la droite Dm est donc
−5x − y + 3 = 0.
Exercice 4.
(1) Déterminer une équation cartésienne de la droite D1 passant par A = (1; 2) et
perpendiculaire à la droite D2 d’équation −x + 4y − 2 = 0.
(2) Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal de A sur D2 .
Correction 4.
(1) Un vecteur directeur de la droite D2 est ~n = (−4; −1). Puisque D1 et D2 sont perpendiculaires, ce vecteur est normal à D1 . On en déduit que cette droite vérifie une équation
cartésienne de la forme :
−4x − y + c = 0,
c un réel. Puisqu’elle passe par le point A, on sait que c est tel que :
−4 − 2 + c = 0 ⇔ c = 6.
L’équation cartésienne de la droite Dm est donc
−4x − y + 6 = 0.
(2) Par définition, H est le point d’intersection de D1 et D2 . On vérifie facilement que D2 a pour
équation cartésienne −x + 4y − 2 = 0. Les coordonnées (x, y) de H vérifient donc :
22
−4x − y + 6 = 0
x = 17
⇔
14
−x + 4y − 2 = 0
y = 17
Exercice 5. On donne les équation de cercle suivantes. Déterminer les coordonnées du centre du
cercle ainsi que de son rayon.
(1) x2 + y 2 − x − 3y − 5 = 0.
(2) 3x2 + 3y 2 − 6x − 9y − 1.
(3) (x − 2)(x + 5) + (y − 1)(y − 4) = 0.
Correction 5.
2
(1) x2 + y 2 − x − 3y − 5 = 0 ⇔ x − 12 +
l’équation du cercle en :
1 2
x−
+ y−
2
Il s’agit donc du cercle de centre
1 3
2; 2
y−
3
2
3 2
2
−5−
2
r
=
et de rayon
2
15
2
q
1
4
−
!2
15
2 .
.
9
4
= 0. Ainsi, on peut réécrire
(2) En procédant de la√même manière on obtient qu’il s’agit de l’équation du cercle de centre
1; 32 et de rayon 2√433 .
(3) En procédant de la même
manière on obtient qu’il s’agit de l’équation du cercle de centre
q
− 32 ; 52 et de rayon 29
2 .
Exercice 6. On donne les coordonnées des points A = (5, 1), B = (−3, 1) et C = (0, 6). Le but
de cet exercice est de trouver une équation du cercle Γ circonscrit au triangle ABC. On note Ω le
centre de Γ.
(1) Déterminer une équation de la médiatrice D1 de [AB] puis une équation de la médiatrice D2
de [AC].
(2) En déduire les coordonnées du point Ω.
(3) Déterminer alors une équation du cercle Γ.
Correction 6.
~ Le vecteur AB
~ ayant pour
(1) Soit I milieu de [AB]. On sait que I vérifie I = A + 12 AB.
~
coordonnées (−8; 0)∗ , on en déduit que I = (1; 1). On sait par ailleurs que le vecteur AB
~ passant par I = (1; 0). On
sera normal D1 . Ainsi, la droite D1 est la droite de normal AB
en déduit l’équation cartésienne suivante de D1 :
−x + 1 = 0.
De la même manière, on obtient comme équation cartésienne pour D2 :
−x + y − 1 = 0.
(2) Le point Ω est à l’intersection des droites D1 et D2 . Ainsi, les coordonnées (x, y) du point
Ω sont solutions du système :
−x + 1 = 0
x=1
⇔
−x + y − 1 = 0
y=2
Il ne reste qu’a calculer le rayon : le point A appartenant
au cercle Γ il s’agit de la longueur
√
~
~ = (4; −1)∗ .
du segment [ΩA] qui est donnée par ||ΩA|| = 17 puisque ΩA
Exercice 7. Aux États-Unis, l’unité de mesure des températures est le degré Fahrenheit (noté ◦ F ).
On sait que l’eau gèle à 0◦ C et à 32◦ F . Elle bout à 100◦ C et 212◦ F . Dans un repère orthonormé,
on aimerait représenter par une droite D la fonction qui à une température en ◦ C associe une
température en ◦ F .
(1) Donner l’équation cartésienne de D.
(2) Il fait 17◦ C à Paris, calculer la température en ◦ F .
(3) Un touriste en vacance aux États-Unis ne se sent pas bien. Il prend sa température et obtient
103◦ F . A-t-il de la fièvre ?
Correction 7.
(1) La droite D passe par les points (0; 32) et (100; 212). On en déduit qu’un vecteur directeur
de la droite est ~u = (5; 9)∗. La droite D a donc une équation cartésienne de la forme
9x − 5y + c = 0,
ou c est un réel tel que le point A = (0; 32) appartienne à D, i.e. tel que :
−160 + c = 0 ⇔ c = 160.
L’équation cartésienne est donc
9x − 5y + 160 = 0.
3
(2) On résout l’équation 9(17) − 5y + 160 = 0 et on obtient y = 62.6 soit une température de
62.6◦ F .
(3) On résout l’équation 9x − 5(103) + 160 = 0 et on obtient x = 39.4 soit une température de
39.4◦ C : ce tourriste a effectivement de la fièvre.
Exercice 8.
(1) Déterminez une équation du cercle Γ1 de centre Ω1 = (1; −1)et de rayon r1 = 5
(2) Déterminez une équation du cercle Γ1 de centre Ω1 = (−2; 0)et de rayon r1 = 3
(3) Déterminez les coordonnées des points d’intersection des cercles Γ1 et Γ2
Correction 8.
Exercice 9. On considère un segment [AB] de longueur 4. On se propose de déterminer l’ensemble
~ · AM
~ = 12, appelé ligne de niveau 12 et noté L12 .
des points M du plan tels que AB
(1) Soit H le projeté orthogonal du point M sur la droite (AB). Démontrez que les égalités
suivantes sont équivalentes :
~ · AM
~ = 12 et AB
~ · AH
~ = 12.
AB
(2) En déduire que la ligne de niveau 12 est une droite, que l’on précisera. Tracer cette ligne de
niveau.
(3) Déterminer puis tracer sur la même figure les ligne de niveau L24 et L−8 .
(4) Quel est la ligne de niveau L0 ?
(5) Déterminez k pour que la ligne de niveau Lk soit la médiatrice de[AB].
Correction 9.
(1) Le points H est le projeté orthogonal de M sur la droite (AB), donc les
~ sont orthogonaux. Par ailleurs, on sait d’après la relation de Chasles
vecteurs M~H et AB
~
~
que AH = AM + M~H. En utilisant la distributivité du produit scalaire on a
~ · AM
~ = AB
~ · (AH
~ + HM
~ ) = AB
~ · AH
~ + AB
~ · HM
~ = AB
~ · AH.
~
AB
~ = 12, i.e. ayant comme
(2) On cherche l’ensemble des points M du plan tels que vecAB · AH
12
3 ~
~
~
projeté orthogonal le point H tel que AH = ~ AB = 4 AB. Il s’agit donc de la droite
||AB||
perpendiculaire à (AB) passant par H.
~ = 24, i.e. ayant comme
(3) — On cherche l’ensemble des points M du plan tels que vecAB · AH
24
3
~ =
~
~
projeté orthogonal le point H tel que AH
~ AB = 2 AB. Il s’agit donc de la droite
||AB||
perpendiculaire à (AB) passant par H.
~ = −8, i.e. ayant comme
— On cherche l’ensemble des points M du plan tels que vecAB · AH
8
~
~ Il s’agit donc de la
~
projeté orthogonal le point H tel que AH = − ~ AB = − 12 AB.
||AB||
droite perpendiculaire à (AB) passant par H.
~ = 0, i.e. ayant comme
(4) On cherche l’ensemble des points M du plan tels que vecAB · AM
projeté orthogonal le point A. Il s’agit donc de la droite perpendiculaire à (AB) passant par
A.
Exercice 10. On donne les coordonnées des points A = (5; 6) et B = (−1; −2).
(1) Déterminer l’équation cartésienne du cercle Γ de diamètre [AB].
(2) Vérifier que le point D = (−1; 6) appartient à Γ.
(3) Donner une équation de la tangente D à Γ au point D.
4
(4) Déterminer la distance du point I = (1; −5) à la droite D.
Correction 10.
~ et de rayon
(1) Le cercle Γ de diamètre [AB] est le cercle de centre Ω tel que Ω = A + 21 AB
~
r = 21 ||AB||.
On obtient après calcul que Ω = (2, 2) et r = 5. L’équation cartésienne de Γ
est donc
(x − 2)2 = (y − 2)2 = 25 ⇔ x2 − 4x + y 2 − 4y 2 − 17 = 0.
(2) On vérifie que les coordonnées du point D vérifient l’équation du cercle. Oui.
~ =
(3) Un vecteur directeur de la tangente au point D est un vecteur orthogonal au vecteur ΩD
∗
(−3; 4) . Puisque la droite D passe par le point D, on en déduit qu’elle a pour équation
cartésienne :
−3x = 4y − 27 = 0.
(4) On applique la formule :
d(I, D) =
| − 3(1) + 4(−5) − 27|
p
= 10.
(−3)2 + (4)2
5

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