Übungsblatt 3 - Universität Wien

Karlheinz Gröchenig
Peter Elbau
Partielle Differentialgleichungen
Fakultät für Mathematik
Universität Wien
8. April 2016
Übungsblatt 3
Verwenden Sie die Methode der Trennung der Variablen und bestimmen Sie eine
Lösungsformel für die folgenden partiellen Differentialgleichungen. Sie können die Existenz der entsprechenden Fourierreihen dabei (noch) voraussetzen.
1. Lösen Sie die Wellengleichung
∂tt u(x, t) = ∂xx u(x, t),
x, t ∈ [0, 1],
für eine Funktion u ∈ C 2 ([0, 1]2 ) mit den Anfangs- und Randbedingungen
u(x, 0) = 0,
x ∈ [0, 1],
u(0, t) = 0,
t ∈ [0, 1],
u(1, t) = 0,
t ∈ [0, 1],
∂t u(x, 0) = f (x), x ∈ [0, 1],
mit einer Anfangsgeschwindigkeit f ∈ C 1 ([0, 1]) und f (0) = f (1) = 0.
2. Lösen Sie die Laplace-Gleichung
∂xx u(x, y) + ∂yy u(x, y) = 0
auf dem Quadrat {(x, y) : x, y ∈ [0, 1]} mit den Randbedingungen
u(x, 0) = 0,
x ∈ [0, 1],
u(0, y) = 0,
y ∈ [0, 1],
u(1, y) = 0,
y ∈ [0, 1],
u(x, 1) = f (x), x ∈ [0, 1].
3. Lösen Sie die Laplace-Gleichung
∆u(x, y) = 0,
(x, y) ∈ D,
u(x, y) = f (x, y), (x, y) ∈ ∂D,
auf der Kreisscheibe D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1}. Benutzen Sie dazu den
Laplace-Operator in Polarkoordinaten:
∆u =
1 ∂ 2u
∂ 2 u 1 ∂u
+
+
.
∂r2
r ∂r r2 ∂φ2
—–
1

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