Übungsblatt 6 - Universität Wien

Karlheinz Gröchenig
Peter Elbau
Partielle Differentialgleichungen
Fakultät für Mathematik
Universität Wien
29. April 2016
Übungsblatt 6
1. Lösen Sie die Wellengleichung utt − ∆u = 0 in R3 explizit für die Anfangsbedingungen u(x, y, z, 0) = 0 und ut (x, y, z, 0) = y. (Lösen Sie die Gleichung einerseits auf
billige Art durch Erraten einer passenden Lösung und andererseits durch Einsetzen
in die passende Formel.)
2. Zeigen Sie, daß die Lösung der Wellengleichung utt − ∆u = 0 in R3 mit Anfangsbedingungen u(·, 0) = f ∈ C 3 (R3 ), ut (·, 0) = g ∈ C 2 (R3 ) auch in der Form
Z
1
f
(y)
+
tg(y)
+
(y
−
x)
·
Df
(y))
dS(y)
u(x, t) =
4πt2 ∂Bt (x)
geschrieben werden kann. (Df bezeichent wie üblich den Gradienten von f .)
3. Betrachten Sie die Wellengleichung utt −∆u = 0 auf R3 mit den Anfangsbedingungen
u(·, 0) = f ∈ C 3 (R3 ), ut (·, 0) = g ∈ C 2 (R3 ). Zeigen Sie folgende Aussage: Wenn die
Anfangsbedingungen kompakten Träger haben, also supp f, supp g ⊆ BR (0), dann
gibt es eine Konstante C > 0, sodaß
|u(x, t)| ≤ C min 1t , R1
∀x ∈ R3 , t > 0 .
Wie hängt die Konstante von den Anfangsbedingungen ab?
(Freiwillig: Zeigen Sie, daß für die Wellengleichung in R2 eine Abschätzung der Form
|u(x, t)| ≤ Ct−1/2 gilt.)
4. Seien F , G zwei Funktionen auf Rd (sagen wir stetig mit kompaktem Träger). Zeigen
Sie, daß die Funktion
Z sin(2π|ξ|t) 2πix·ξ
u(x, t) =
F (ξ) cos(2π|ξ|t) + G(ξ)
e
dξ
2π|ξ|
Rd
eine Lösung der Wellengleichung ist. Wie müssen Sie F , G wählen, damit die Anfangsbedingungen u(·, 0) = f , ut (·, 0) = g erfüllt sind? Spekulieren Sie darüber, ob
dies immer möglich ist.
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