M. Hamilton 9. Gruppen¨ ubung zur Vorlesung H¨ ohere Mathematik 2 – MINT App, Deißler, Dirmeier, Hankele, H¨außling, Lilli, Merkt, Schulz, Stroh, Weidler Wintersemester 2014/2015 L¨ osungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 29. Niveaulinien und achsenparallele Schnitte (2+2 = 4 Punkte) Gegeben ist die Funktion h : R2 → R mit h(x, y) = x2 + y 2 − 4|x|. (a) Skizzieren Sie die Niveaulinien von h zu den Niveaus h(x, y) = c mit c ∈ {−5, −4, −3, 0, 5}. (b) Skizzieren Sie die achsenparallelen Schnitte von h f¨ur x0 = a mit a ∈ {−2, 0, 2} und y0 = b mit b ∈ {−2, 0, 2}. L¨ osungshinweise hierzu: (a) Sei h(x, y) = c. Dann gilt f¨ur x ≧ 0 h(x, y) = x2 + y 2 − 4x = (x − 2)2 + y 2 − 4 = c und daher (x − 2)2 + y 2 = c + 4. F¨ur x ≦ 0 gilt h(x, y) = x2 + y 2 + 4x = (x + 2)2 + y 2 − 4 = c und daher (x + 2)2 + y 2 = c + 4. F¨ur c ≧ −4 besteht die Niveaulinie Nc der Funktion h zum Niveau c daher √ aus zwei Teilen: Im Bereich x ≧ 0 ist sie ein Kreis um den Punkt (2, 0) mit Radius c √ + 4, im Bereich x ≦ 0 ist sie ein Kreis um den Punkt (−2, 0) mit demselben Radius c + 4. (1 Punkt) F¨ur c < −4 ist die Niveaulinie die leere Menge. Die Skizze zeigt die Niveaulinie f¨ur c = 5. ((1 Punkt) f¨ur komplette Skizze) http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-1415-hm2/ 9. Gruppen¨ubung H¨ohere Mathematik 2 – MINT Niveaulinie c=5 y 1 × −2 0 × x 1 2 (b) F¨ur x0 = a ist Insbesondere ist h(a, y) = a2 + y 2 − 4|a|. h(−2, y) = y 2 − 4 h(0, y) = y 2 h(2, y) = y 2 − 4. Das sind gew¨ohnliche Parabeln mit Minimum bei (0, a2 −4|a|). ((1 Punkt) f¨ur Skizze) h(2, y) Achsenparalleler Schnitt x0 = 2 1 0 y 1 −4 F¨ur y0 = b ist h(x, b) = x2 + b2 − 4|x|. http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-1415-hm2/ 9. Gruppen¨ubung H¨ohere Mathematik 2 – MINT Insbesondere ist f¨ur x ≧ 0 h(x, −2) = x2 + 4 − 4x = (x − 2)2 h(x, 0) = x2 − 4x = (x − 2)2 − 4 h(x, 2) = x2 + 4 − 4x = (x − 2)2 und f¨ur x ≦ 0 h(x, −2) = x2 + 4 + 4x = (x + 2)2 h(x, 0) = x2 + 4x = (x + 2)2 − 4 h(x, 2) = x2 + 4 + 4x = (x + 2)2 . Das sind gew¨ohnliche Parabel¨aste mit Minimum bei (2, b2 −4) f¨ur x ≧ 0 bzw. (−2, b2 − 4) f¨ur x ≦ 0. ((1 Punkt) f¨ur Skizze) h(x, 0) Achsenparalleler Schnitt y0 = 0 1 0 x 1 2 −4 Aufgabe H 30. Vorzeichenverteilung (2+2 = 4 Punkte) Skizzieren Sie f¨ur die Funktionen f1 , f2 : R2 → R mit f1 (x, y) = x4 y + 4x2 y 3 − x2 y f2 (x, y) = (x2 − y 2 − 3)(x2 − 4y 2 ) jeweils die Nullstellenmenge und die Vorzeichenverteilung. L¨ osungshinweise hierzu: (a) Wir schreiben: f1 (x, y) = x2 y(x2 + 4y 2 − 1). http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-1415-hm2/ 9. Gruppen¨ubung H¨ohere Mathematik 2 – MINT Die Nullstellenmenge des Funktionsausdrucks g(x, y) = x2 +4y 2 −1 ist eine Ellipse mit Mittelpunkt (0, 0) und Halbachsen 1 in x-Richtung bzw. 21 in y -Richtung. Außerhalb der Ellipse ist g(x, y) positiv, innerhalb negativ. Außerdem sind die x-Achse und die y -Achse Nullstellenmengen. Das Vorzeichen des Faktors x2 y ist dasselbe wie das Vorzeichen von y . (1 Punkt) x2 y x2 + 4y 2 − 1 f1 (x, y) y > 0 und x2 + 4y 2 − 1 > 0 (außerhalb der Ellipse) + + + y > 0 und x2 + 4y 2 − 1 < 0 (innerhalb der Ellipse) + − − y < 0 und x2 + 4y 2 − 1 > 0 (außerhalb der Ellipse) − + − y < 0 und x2 + 4y 2 − 1 < 0 (innerhalb der Ellipse) − − + Wegen f1 (−x, y) = f (x, y) f1 (x, −y) = −f2 (x, y) ist die Funktion f1 und daher die Vorzeichenverteilung symmetrisch zur y -Achse aber antisymmetrisch zur x-Achse. ((1 Punkt) f¨ur Skizze) y 1 + + 0.5 − + 0 − + − x 1 − (b) Den zweiten Faktor von f2 kann man schreiben als x2 − 4y 2 = (x − 2y)(x + 2y). Die Nullstellemenge dieses Ausdrucks sind die Geraden G+ mit y = 21 x und G− mit y = − 21 x durch den Ursprung mit Steigung ± 12 . http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-1415-hm2/ 9. Gruppen¨ubung H¨ohere Mathematik 2 – MINT Der Nullstellenmenge des ersten Faktors x2 − y 2 − 3 sind die beiden Hyperbel¨aste H+ und H− , die √ zu den Winkelhalbierenden y = ±x asymptotisch sind und durch die Punkte (± 3, 0) verlaufen. (1 Punkt) Wir m¨ussen das Vorzeichen aller drei Faktoren (x2 − y 2 − 3)(x − 2y)(x + 2y) ber¨ucksichtigen. Wegen f2 (−x, y) = f (x, y) f2 (x, −y) = f2 (x, y) ist die Funktion f2 und damit ihre Vorzeichenverteilung symmetrisch sowohl zur x- als auch zur y -Achse. ((1 Punkt) f¨ur Skizze) http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-1415-hm2/ 9. Gruppen¨ubung H¨ohere Mathematik 2 – MINT x2 − y 2 − 3 x − 2y x + 2y f2 (x, y) rechts von H+ , u¨ber G+ , u¨ber G− + − + − rechts von H+ , unter G+ , ¨uber G− + + + + rechts von H+ , unter G+ , unter G− + + − − zwischen H+ und H− , u¨ber G+ , ¨uber G− − − + + zwischen H+ und H− , unter G+ , ¨uber G− − + + − zwischen H+ und H− , unter G+ , unter G− − + − + y H− H+ + − − G+ 1 + − − √ − 3 − √ 1 3 0 + + − x G− Aufgabe H 31. Stetigkeit (2+2 = 4 Punkte) Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit:  exp − 1 , (x, y) 6= (0, 0) x2 + y 2 (a) f : R2 → R, (x, y) 7→  0, (x, y) = (0, 0) http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-1415-hm2/ 9. Gruppen¨ubung H¨ohere Mathematik 2 – MINT  2 2 cos x − y , (x, y) 6= (0, 0) x2 + 2y 2 (b) g : R2 → R, (x, y) 7→  1, (x, y) = (0, 0) L¨ osungshinweise hierzu: (a) Die Funktion f ist in jedem Punkt außer (0, 0) stetig (Komposition von stetigen Funktionen). Sei (xn , yn ) eine beliebige Folge in R2 r {0, 0}, die gegen (0, 0) konvergiert. Dann konvergiert x2n +yn2 gegen 0, wobei die Werte stets gr¨oßer Null sind. Daher konvergiert − x2n 1 + yn2 gegen −∞. (1 Punkt) Wegen limt→−∞ exp(t) = 0 folgt 1 lim exp − 2 = 0. n→∞ xn + yn2 Da die Folge (xn , yn ) eine beliebige gegen (0, 0) konvergente Folge war und f (0, 0) = 0 ist, folgt dass f im Punkt (0, 0) stetig ist. Also ist f auf ganz R2 stetig. (1 Punkt) (b) Die Funktion g ist in jedem Punkt außer (0, 0) stetig (Komposition von stetigen Funktionen). Wir behaupten, dass sie in (0, 0) nicht stetig ist. Dazu gen¨ugt es, eine Folge (xn , yn ) zu finden, die nirgends (0, 0) ist und gegen (0, 0) konvergiert, so dass g(xn , yn ) nicht gegen g(0, 0) = 1 konvergiert. Eine solche Folge ist zum Beispiel (xn , yn ) = (0, n1 ), denn es gilt cos 0 − n12 0 + 2 n12 1 = cos − . (1 Punkt) 2 Da cos(α) = 1 nur f¨ur α ∈ 2πZ und − 21 nicht Element von 2πZ ist, folgt lim g(xn , yn ) 6= 1. n→∞ Also ist g in (0, 0) nicht stetig. (1 Punkt) http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-1415-hm2/