Prof. TeknD Timo Weidl, Dr. James Kennedy FB Mathematik, Universit¨ at Stuttgart Seite 1 von 2 ¨ Ubung am 22. Mai 2015 Ho ¨here Analysis (SS 2015) — Blatt 6 Does anyone believe that the difference between the Lebesgue and Riemann integrals can have physical significance, and that whether, say, an airplane would or would not fly could depend on this difference? If such were claimed, I should not care to fly in that plane. (Richard Hamming; 1915–1998) Hausaufgaben: 6.1. (6 Punkte) (a) Es sei (X, A, µ) ein Maßraum und fn : X → R∗ messbar, fn ≥ 0, f¨ ur n ∈ N. Beweise, dass Z X ∞ fn dµ = X n=1 ∞ Z X fn dµ n=1 X gilt. Gib ein Beispiel daf¨ ur an, dass diese Identit¨at nicht gelten muss, wenn fn 6≥ 0. (b) Sei f : [a,Rb) → R gegeben f¨ ur a ∈ R und b ∈ R ∪ {+∞} fest. Angenommen, die Riemannr ur alle r ∈ [a, b) und es integrale a |f (x)| dx existieren als eigentliche Riemannintegrale f¨ gilt Z r |f (x)| dx < ∞. sup r∈[a,b) a Zeige, dass dann f ∈ L([a, b), µ) gilt und Z Z f dµ = lim r r→a a [a,b) f (x) dx. Votieraufgaben: 6.2. Die Funktion f : [π, ∞) → R sei gegeben durch f (x) := Z ∞ f (x) dx sin x x . Zeige, dass π als uneigentliches Riemannintegral existiert aber f 6∈ L([π, ∞), µ). 6.3. Berechne folgende Grenzwerte: Z (a) lim n→∞ 0 2 n arctan(x ) dx; Z (b) lim n→∞ 0 ∞ n sin nx dx. x(1 + x2 ) Macht es einen Unterschied, ob sich die Integrale als Lebesgue- oder (m¨oglicherweise uneigentliche) Riemannintegrale verstehen? c [email protected] [email protected] Prof. TeknD Timo Weidl, Dr. James Kennedy FB Mathematik, Universit¨ at Stuttgart Seite 2 von 2 ¨ Ubung am 22. Mai 2015 6.4. (a) Sei f ∈ L(R, µ). Zeige, dass die Funktion F : R → R gegeben durch Z F (x) = f dµ (−∞,x] stetig ist. Ist F ∈ L(R, µ)? (b) Was stimmt hier nicht? (i) Wir beweisen die Vollst¨ andigkeit des Lp (X, µ) u ur ein ¨ber einen Maßraum (X, A, µ) f¨ gegebenes p ∈ [1, ∞]. Jedes Element f ∈ Lp (X, µ) kann mit einer Funktion f : X → R identifiziert werden, die bis auf eine Nullmenge eindeutig bestimmt ist. Fixiere nun f ∈ Lp (X, µ) und x ∈ X beliebig. Da µ({x}) = 0, k¨onnen wir f (x) beliebig (um)definieren, setzen wir also f (x) = 0, und wir erhalten immer noch das gleiche Element aus Lp (X, µ). Da das f¨ ur alle x ∈ X gilt, ist die Funktion f gleich 0 im Raum Lp (X, µ). Da f beliebig war, gilt also Lp (X, µ) = {0}, und der Nullvektorraum {0} ist trivialerweise vollst¨ andig. (ii) Wir betrachten die Funktion f : [0, 1] → R, ( 1 falls x ∈ Q f (x) = 0 falls x ∈ R \ Q. Da Q eine Nullmenge (bez¨ uglich des Lebesguemaßes) ist, ist die Funktion f fast u ¨berall auf [0, 1] mit der stetigen Funktion 0 u ¨bereinstimmt. Somit ist f fast u ¨berall stetig auf [0, 1] und deswegen nach dem Satz von Lebesgue auch riemannintegrierbar. 6.5. We recall the measure space (R, σ(R), ϕ) from Ex. 1.3: σ(R) = {M ⊂ R : M or M C countable} and ( 0 ϕ(M ) = 1 if M is countable, if M is uncountable. (a) Which functions f : R → R are measurable in this σ-algebra? (b) Prove that every measurable function f : R → R is integrable, i.e. in L(R, ϕ), and compute R f dϕ for f ∈ L(R, ϕ) arbitrary. R c [email protected] [email protected]