Blatt 13

L. Allerhand
A. Armiti, J. H¨
orner
A. Kerschl, M. Werth
C. Winkel, C. Zeiler
13. Gruppen¨
ubung zur Vorlesung
M. K¨
unzer
M. Stroppel
H¨
ohere Mathematik 1
Wintersemester 2014/15
Pr¨
asenz¨
ubungen
Aufgabe P 44. Monotonie und Beschr¨anktheit
Untersuchen Sie die Folgen auf Monotonie und Beschr¨anktheit. Geben Sie, falls m¨oglich,
zwei verschiedene obere und zwei verschiedene untere Schranken an.
1
−n
(a) (7 )n∈N
(b) 7 n
(c) sin( πn
)
4
n∈N
n∈N
(d) sin(2 π n − n1 ) n∈N (e) 21 n2 − 20n + 1 n∈N
Aufgabe P 45. H¨aufungspunkte
Bestimmen Sie jeweils die H¨aufungspunkte der Folge (an )n∈N .

n+1
√

(a) an = (−1)
0
n
3n
(d) an = 2n+1
(b) an = (−2)n

 2
2n+3
n
(c) an = sin nπ
2
3n
f¨ur n ≦ 1000
f¨ur 1000 < n ≦ 100000
f¨ur n > 100000
Aufgabe P 46. Rekursive Folge, Monotonie und Beschr¨anktheit
Sei die Folge (an )n≧0 rekursiv durch a0 := 0, a1 := 1 und an+2 := an+12+an f¨ur n ≧ 0
n
gegeben.
definiert. Außerdem sei die Folge (bn )n≧0 mit bn := 32 1 − − 12
(a) Zeichnen Sie a0 , a1 , . . . , a5 auf der Zahlengeraden ohne zu rechnen.
(b) Zeigen Sie per Induktion, dass an = bn f¨ur alle n ≧ 0 gilt.
(c) Untersuchen Sie die Folge (an )n≧0 auf Monotonie und Beschr¨anktheit.
(d) Bestimmen Sie die H¨aufungspunkte der Folge (an )n≧0 .
Aufgabe P 47. Rekursive Folge
Berechnen Sie die ersten f¨unf Folgenglieder der Folge (an )n∈N , die rekursiv definiert ist durch
a1 := 1,
an+1 := an + 2n.
Zeigen Sie mit Induktion, dass sich in geschlossener Form
an = n2 − n + 1
ergibt f¨ur n ∈ N.
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13. Gruppen¨ubung
H¨ohere Mathematik 1
Haus¨
ubungen (Abgabe in der n¨achsten Gruppen¨ubung):
Aufgabe H 51. H¨aufungspunkte
Bestimmen Sie jeweils die H¨aufungspunkte der Folge (an )n∈N .
(
n+1
(c) an = n((−1) )
f¨ur n gerade
cos nπ
4
(a) an =
sin nπ
f¨ur n ungerade
4
q
(b) an =
4n2 +3
(−1)n+1
3n2 −9
(d) an = n−1 +
1 − cos
π
2
+
nπ
3
2
Aufgabe H 52. Rekursive Folge, Monotonie und Beschr¨anktheit
Sei q ∈ R. Gegeben sei die Folge (an )n∈N , die rekursiv durch a1 := 2 und an+1 := qan + 3
f¨ur n ∈ N definiert ist.
(a) Geben Sie an durch einen Ausdruck an, der nicht mehr rekursiv von anderen Folgengliedern abh¨angt.
(b) F¨ur welche q ∈ R ist die Folge (an )n∈N monoton?
(c) F¨ur welche q ∈ R ist die Folge (an )n∈N beschr¨ankt?
(d) Bestimmen Sie die H¨aufungspunkte der Folge (an )n∈N f¨ur q ∈ {−1, −1/2, 1}.
Aufgabe H 53. Monotonie und Beschr¨anktheit
Untersuchen Sie die Folgen auf Monotonie und Beschr¨anktheit. Geben Sie dabei jeweils zwei
obere beziehungsweise zwei untere Schranken an, falls solche existieren.
2
1 n
2n + 2n + 7
(c)
2
+
−
4
n∈N
(a)
n2 + 1
n∈N
2
(b) n · 21−n
(d) 3 π n2 + 2n cos(πn) n∈N
n∈N
Aufgabe H 54. Rekursive Folge, Definition Grenzwert
−1
F¨ur die Folge an n∈N gelte a1 = 21 und an = (a−1
f¨ur n ≧ 2.
n−1 + 2)
(a) Geben Sie eine geschlossene Formel f¨ur an an und zeigen Sie diese mit Induktion.
(b) Sei ε > 0 gegeben. Finden Sie dazu ein nε so, dass |an | < ε ist f¨ur n > nε .
(c) Bestimmen Sie limn→∞ an und begr¨unden Sie Ihre Antwort mittels (b).
(d) F¨ur welche q ∈ R ist (an + q(n + 1)−1 )n∈N streng monoton fallend?
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