Aufgabe über das Cauchy-Produkt von Reihen Wir nennen eine Reihe P∞ k=0 ak absolut konvergent, wenn ∞ X |ak | < ∞ k=0 gilt. Für zwei konvergente Reihen den Summanden cn definieren: P∞ k=0 ak , cn := n X P∞ j=0 bj , kann man eine neue Reihe mit an−j bj . j=0 Wir schreiben dafür kurz ∞ X ! ∞ ∞ X X ak · bj := cn k=0 j=0 n=0 und nennen dies das Cauchy-Produkt der zwei Reihen. (a) Zeige nun, dass das Cauchy-Produkt von zwei absolut konvergenten Reihen wiederum absolut konvergiert. Zeige außerdem, dass das Cauchy-Produkt dann folgende Eigenschaft erfüllt: ! N N N X X X lim ak · bj = lim cn . N →∞ k=0 j=0 N →∞ n=0 (b) Zeige mit einem passenden Beispiel, dass das Cauchy-Produkt von zwei konvergenten Reihen, die nicht absolut konvergieren, eine divergente Reihe hervorbringen kann.
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