Lineare Algebra I (Lehramt)

Dr. Annette Maier
Prof. Dr. Rudolf Scharlau
WS 2014/15
Lineare Algebra I (Lehramt)
¨
Ubungsblatt
15
Abgabe bis Di den 03.02.15, 12:00 Uhr, in die K¨asten im Mathefoyer.
Aufgabe 57 (5=2+3 Punkte)
a) Wir betrachten den Untervektorraum U := {~x ∈ R4 | x1 + x2 − x3 − x4 = 0}
von R4 . Finden Sie ein Komplement zu U in R4 .
b) Sei V := Abb(R, R) und
W := {f ∈ V | f (z) = 0 f¨
ur alle z ∈ {−1, 0, 2}}.
Zeigen Sie, dass W ein Untervektorraum von V ist und finden Sie ein Komplement zu W in V .
Aufgabe 58 (4=3+1 Punkte)
Es sei K ein K¨orper, V ein K-Vektorraum und M sei die Menge aller Untervektorr¨aume von V : M = {U ⊆ V | U ist ein Untervektorraum von V }.
a) Zeigen Sie, dass M ein Monoid bzgl. der Summe +“ von Untervektorr¨aum”
en bildet. Gilt das Gleiche auch f¨
ur die direkte Summe ⊕“?
”
Erinnerung: Man nennt eine Menge M zusammen mit einer assoziativen
Verkn¨
upfung auf M ein Monoid, wenn ein neutrales Element existiert.
b) Es sei jetzt U ∈ M mit Basis (u1 , . . . , uk ) und W ∈ M mit Basis (w1 , . . . , wm ).
Nach Vorlesung ist dann A = (u1 , . . . , uk , w1 , . . . , wm ) ein Erzeugendensystem von U + W . Zeigen Sie, dass A genau dann eine Basis von U + W ist,
wenn U + W = U ⊕ W gilt.
Aufgabe 59 (4=2+2 Punkte)
1
Es sei W die von
aufgespannte Ursprungsgerade in R2 .
2
a) Wir betrachten R2 als euklidischen Vektorraum bez¨
uglich des Standardskalarprodukts < ·, · >. Bestimmen Sie das orthogonale Komplement W ⊥ von
W und die orthogonale Projektion prW von R2 auf W
Sie eine
. Fertigen
3
Skizze an, in der Sie die Gerade W , den Vektor v =
und sein Bild
−4
prW (v) einzeichnen. Geben Sie auch noch eine Darstellungsmatrix von prW
an.
1 0
2
b) Es sei jetzt bA die Bilinearform auf R definiert durch A =
. Zeigen
0 2
Sie, dass (V, bA ) ein euklidischer Vektorraum ist. Bestimmen Sie dann W ⊥
und die orthogonale Projektion prW (diesmal im euklidischen Vektorraum
(V, bA )). Geben Sie auch wieder eine Darstellungsmatrix von prW an.
Aufgabe 60 (3 Punkte)
Hinweis: F¨
ur die Bearbeitung von Aufgabe 60 wird ausnahmsweise der Vorlesungsstoff vom Freitag (30.01.) ben¨otigt!
 
 
 
4
2
0






2
 2  , v3 =  8  und
Es sei U = Lin{v1 , v2 , v3 } ⊆ R4 mit v1 = 
,
v
=
2
−2
−4
−2
−1
−5
−5
< ·, · > sei das Standardskalarprodukt auf U . Sie d¨
urfen ohne Beweis verwenden,
dass (v1 , v2 , v3 ) eine Basis von U ist. Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von
U mit Hilfe des Gram-Schmidt’schen Orthogonalisierungsverfahrens.

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