Zusatzmaterial: Reglerentwurf durch Vorgabe der komplementären

Prof. Dr.-Ing. J¨org Raisch
Dipl.-Ing. Vladislav Nenchev
Dipl.-Ing. Anne-Kathrin Schmuck
Dipl.-Ing. Thomas Seel
Fachgebiet Regelungssysteme
Fakult¨at IV Elektrotechnik und Informatik
Technische Universit¨at Berlin
Integrierte Lehrveranstaltung ”Grundlagen der Regelungstechnik”
Reglerentwurf durch Vorgabe der komplement¨aren Sensitivit¨atsfunktion
(Version: Februar 2015)
Der Reglerentwurf erfolgt in drei Schritten:
1. Wahl einer komplement¨aren Sensitivit¨atsfunktion:
pT (s)
, wobei pT , qT teilerfremde Polynome sind;
qT (s)
T (s) =
¨
2. Uberpr¨
ufen der Implementierbarkeitsbedingungen:
T (s) 6≡ 1 heißt implementierbare komplement¨are Sensitivit¨atsfunktion f¨ur G(s), wenn eine
¨
Regler-Ubertragungsfunktion
K(s) existiert, so dass gilt
a) T (s) =
G(s)K(s)
1+G(s)K(s)
ist realisierbar, d.h.
Grad(qT (s)) ≥ Grad(pT (s));
b) K(s) ist realisierbar, d.h.
T (∞) 6= 1 und
Grad(qT ) − Grad(pT ) ≥ Grad(qG ) − Grad(pG ) ;
{z
} |
{z
}
|
r(T )... Relativgrad von T (s)
r(G)... Relativgrad von G(s)
c) der Regelkreis (G, K) ist asymptotisch stabil, d.h.
• Alle Wurzeln von qT (s) m¨ussen links der imagin¨aren Achse liegen, d.h. die vorgegebene komplement¨are Sensitivit¨atsfunktion ist asymptotisch stabil;
• Jede m-fache Nullstelle von G(s), die auf oder rechts der imagin¨aren Achse liegt,
muss auch m-fache Nullstelle von T (s) sein;
• Jeder m-fache Pol von G(s), der auf oder rechts der imagin¨aren Achse liegt, muss
eine m-fache Nullstelle von S(s) sein, d.h. Wurzel von qT (s) − pT (s).
Falls die gew¨ahlte komplement¨aren Sensitivit¨atsfunktion nicht f¨ur G(s) implementierbar
war, muss die Wahl angepasst werden und die Implementierbarkeit erneut u¨ berpr¨uft werden;
¨
3. Die Regler-Ubertragungsfunktion
K(s) f¨ur eine implementierbare Wahl von T (s) ergibt ich
nun zu
K(s) =
T (s)
.
(1 − T (s))G(s)
1

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