UNIVERSITÄT FREIBURG
Naturwissenschaftliche Fakultät
Department Mathematik
Herbstsemester 2015
Propädeutische lineare Algebra – Übungsblatt 3
Abzugeben bis Mittwoch 14. Okt 2015, 8 Uhr
Aufgabe 1. Zeige, dass die beide Familien von Vektoren (B1 und B2 ) Basen des R2 bilden,
1
0
1
−2
a) B1 =
,
und
b) B2 =
,
0
1
1
1
−4
in der Basis B1 gegeben. Schreibe v bezüglich der Basis B2 .
Sei v =
6
Aufgabe 2. Eine Fibonacci-Folge ist eine reelle Zahlenfolge (a0 , a1 , a2 , a3 , . . .) bei der die
Elemente ai ∈ R rekursiv wie folgt berechnet werden
an+2 = an+1 + an
für n ∈ N.
So sind beispielsweise (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .) und (2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, . . .) Fibonacci-Folgen.
(a) Berechnen Sie die ersten 6 Terme der Fibonnacci-Folge mit a0 = −1 und a1 = 2.
(b) Zeige, dass die Menge F der Fibonacci-Folgen einen Untervektorraum der Menge der
reellen Zahlenfolgen bildet.
(c) Sei B = {v, u} die aus der Vorlesung bekannte Basis mit
v = (1, α, α2 , α3 , . . . , αt , . . .) und u = (1, β, β 2 , β 3 , . . . , β t , . . .),
wobei α =
√
1+ 5
2
und β =
√
1− 5
.
2
Geben Sie für die Fibonacci-Folge w mit den Startwerten a0 = 0, a1 = 2 den Vektor
VB (w) an, d.h. die Darstellung von w bzgl. B.
Aufgabe 3. Sei
C ∞ [0, 1] := {f : [0, 1] → R | alle Ableitungen von f existieren}
der Vektorraum der unendlich oft differenzierbaren Funktionen auf dem Intervall [0, 1].
Sei V ⊂ C ∞ [0, 1] die Menge der Funktionen f ∈ C ∞ [0, 1], welche folgende Differentialgleichung
erfüllen
f 00 − µ2 · f = 0, µ 6= 0.
(a) Zeigen Sie, dass
f1 : t 7→ f1 (t) = eµ·t
in V liegen und linear unabhängig sind.
und
f2 : t 7→ f2 (t) = e−µ·t
(b) Zeigen Sie, dass V ein Untervektorraum von C ∞ [0, 1] ist.
Aufgabe 4. Gelten folgende Aussagen? Begründen Sie Ihre Antworten oder geben Sie ein
Gegenbeispiel an.
(a) Jeder Vektorraum lässt nur eine Basis zu.
(b) Der triviale Vektorraum V = {o} besitzt die Basis {o}.
(c) Sei V ein Vektorraum.
Wenn v1 , v2 , v3 , v4 ∈ V linear abhängige Vektoren sind, dann
hat Vect v1 , v2 , v3 , v4 die Dimension 3.
(d) Sei V ein Vektorraum. Wenn v1 , v2 , v3 , v4 ∈ V linear abhängige Vektoren sind, dann
kann Vect v1 , v2 , v3 , v4 die Dimension 1 annehmen.
(e) Sei V ein Vektorraum der Dimension 10. Dann besitzt V einen Untervektorraum der
Dimension 4.
(f) Seien f : R → R et g : R → R zwei reellwertige Funktionen. Wenn ein t ∈ R existiert
mit f (t) 6= g(t), dann gilt f 6= g.
(g) Seien f : R → R et g : R → R zwei reellwertige Funktionen. Wenn ein t ∈ R existiert
mit f (t) = g(t), dann gilt f = g.
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