Blatt 11

Lineare Algebra II
19.05.2015
Freiwilliges Übungsblatt 11
Am 26. Mai 2015 in der Vorlesung oder bis 12.00 Uhr im Departement Mathematik
und Informatik.
Abgabe:
S Aufgabe
1.
a b
Überprüfen Sie, dass jede reelle symmetrische Matrix A =
∈ M(2 × 2, R)
b c
diagonalisierbar ist.
S Aufgabe
Seien x1 , . . . , xn > 0 positive reelle Zahlen mit x1 + · · · + xn = 1. Zeigen Sie die
1
1
+ ··· +
≥ n2 . Wann gilt die Gleichheit?
Ungleichung
x1
xn
S Aufgabe
2.
3.
Sei V = R[t]≤2 der Vektorraum aller Polynome in t vom Grad ≤ 2. Dann deniert
Z
1
hP, Qi =
−1
P (t)Q(t)dt
ein Skalarprodukt auf V . Wenden Sie das Gram-Schmidt-Verfahren auf die Standardbasis (1, t, t2 ),
um eine Orthonormalbasis von V zu konstruieren.

1 −2 −2
Begründen Sie, dass die Matrix A = −2 1 −2 ∈ M(3×3, R) diagonalisierbar
−2 −2 1
ist und bestimmen Sie eine orthogonale Matrix S ∈ O(3), so dass tSAS diagonal ist.

S Aufgabe 4.
E Aufgabe
E Aufgabe
5.
Seien A ∈ SO(2) und B ∈ O(2) mit B ∈
/ SO(2). Zeigen Sie, dass BAB = A−1 gilt.
6.
Man betrachtet die Gleichung M · tM · M = En in der Variable M ∈ M(n × n, R).
(a) Zeigen Sie, dass jede Lösung eine symmetrische Matrix ist.
(b) Bestimmen Sie alle Lösungen der obigen Gleichung.
E Aufgabe
7. Sei V ein endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum und sei (w1 , . . . , wn ) eine
Familie mit kwi k = 1 für alle 1 ≤ i ≤ n, so dass
n
X
hv, wi i2 = kvk2
i=1
für alle v ∈ V gilt. Zeigen Sie, dass (w1 , . . . , wn ) eine Orthonormalbasis von V ist.
[Hinweis: Span(w1 , . . . , wn )⊥ = {0}.]
Lineare Algebra II
E Aufgabe
19.05.2015
Sei Rn versehen mit dem Standardskalarprodukt. Eine Abbildung f : Rn → Rn
heisst Isometrie von Rn , wenn sie abstandstreu ist, d.h. wenn gilt kf (x) − f (y)k = kx − yk für
alle Punkte x, y ∈ Rn .
8.
(a) Sie b ∈ Rn fest. Zeigen Sie, dass die Translation tb : Rn → Rn , x 7→ x + b, eine Isometrie ist.
(b) Sei f eine Isometrie mit f (0) = 0.
(i) Zeigen Sie, dass kf (x)k = kxk für alle x ∈ Rn gilt.
(ii) Zeigen Sie, dass hf (x), f (y)i = hx, yi für alle x, y ∈ Rn gilt.
[Hinweis: Betrachten Sie hf (x) − f (y), f (x) − f (y)i.]
(iii) Zeigen Sie, dass f linear ist.
(c) Zeigen Sie, dass es für jede Isometrie f von Rn eine geeignete orthogonale Matrix A und
einen geeigneten Vektor b gibt, so dass f (X) = AX + b für alle Spaltenvektoren X ∈ Rn gilt.

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