Beispielrechnung Funktionenvektorräume

Anmerkung und ein Beispiel zu Funktionenvektorräumen
Der 0-Vektor im Funktionenvektorraum stellt die Nullfunktion dar. Dies ist die Funktion,
die alle Elemente des Denitionsbereiches auf den Wert 0 abbildet.
i)
ii)
Sei
n
o
V = f : R −→ R | f (0) = 0
der Raum der Funktionen von R nach R, die an der Stelle 0 den Funktionswert 0 haben.
Möchte man zeigen, dass V auch ein Untervektorraum ist, müssen die drei folgenden Kriterien erfüllt sein.
Die Nullfunktion muss in V enthalten sein.
Dies ist der Fall, denn die Nullfunktion hat überall den Funktionswert 0. Insbesondere hat
sie an der Stelle 0 den Wert 0 und ist somit in V.
1.)
2.)
Seien f, g ∈ V . Dann soll auch die Summe beider Funktionen f + g in V sein.
Dabei ist die Summe (f + g) zweier Funktionen f und g so deniert, dass sich jeweils die
Funktionswerte der beiden Funktionen f und g addieren, um so die neuen Funktionswerte
von (f + g) zu bilden. In diesem Fall bedeutet das:
(f + g)(0) = f (0) + g(0) = 0 + 0 = 0
Damit erfüllt die Summenfunktion (f + g) das Kriterium für V.
3.)
Sei α ∈ R , f ∈ V . Dann soll auch (α · f ) in V sein.
Dabei entsteht durch die Skalarmultiplikation des Skalars α mit einer Funktion f eine neue
Funktion, deren Funktionswerte sich aus der Multiplikation der Funktionswerte f (x) mit α
ergeben.
(α · f )(0) = α · f (0) = α · 0 = 0
Damit erfüllt (α · f ) das Kriterium für V.
Da alle 3 Punkte erfüllt sind, bildet die Menge V einen Untervektorraum des Vektorraumes
aller Funktionen von R nach R.
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