18.05.2015 Abteilung für Angewandte Mathematik Prof. Dr. M. Růžička, Hannes Eberlein Funktionalanalysis SS 2015 — Woche 5 Abgabe: Montag, den 01. Juni, vor der Vorlesung Aufgabe 1: Sei H ein Hilbertraum und u ∈ H. Zeigen Sie die Normformel kuk = 2 Punkte |(z, u)|. sup z∈H, kzk=1 Aufgabe 2: 4 Punkte Sei X ein Banachraum und sei E ⊂ X ein Untervektorraum mit dim(E) < ∞. Zeigen Sie, dass E abgeschlossen ist. Aufgabe 3: Gegeben sei der Raum der quadratsummierbaren Folgen 2 ` := (cj )j∈N ⊂ C ∞ X |cj |2 3 Punkte <∞ , j=1 2 der mit dem Skalarprodukt (c, w)`2 := ∞ j=1 cj wj versehen ist. Zeigen Sie, dass ` vollständig und somit ein Hilbertraum ist. P Aufgabe 4: (Produktregel für Sobolev-Funktionen) 4 Punkte n 0,1 1,2 Sei Ω ⊂ R offen mit ∂Ω ∈ C . Seien u, v ∈ H (Ω). Zeigen Sie uv ∈ W 1,1 (Ω) sowie die Produktregel für die schwachen Ableitung ∂i (uv) = (∂i u) v + u (∂i v). Tipp: Sie dürfen die Äquivalenz der Definitionen 1.10 und 1.15 annehmen. Aufgabe 5: (Kettenregel für Sobolev-Funktionen) 7 Punkte n 0,1 1 0 Sei Ω ⊂ R offen mit ∂Ω ∈ C . Sei f ∈ C (R) mit |f | ≤ M in R sowie f (0) = 0. Zeigen Sie: Ist u ∈ H 1,2 (Ω), so ist auch f (u) ∈ H 1,2 (Ω) und es gilt Di f (u) = f 0 (u) Di u. Tipp: Auch hier dürfen Sie die Äquivalenz der Definitionen 1.10 und 1.15 annehmen. Verwenden Sie den Hauptsatz, um f (u) abzuschätzen.
© Copyright 2024 ExpyDoc
