Blatt 8 - Institut für Mathematik

Humboldt-Universität zu Berlin
Institut für Mathematik
Blatt 8
Wintersemester 2015/16
Version 1.12.2015
Dr. Bernhard Gerlach,
Dr. Achref Bachouch,
Lutz Klaczynski, Claudius Heyer
Übung zur Linearen Algebra 1 für Informatiker/innen
Basen, Skalarprodukt und Orthogonalität
1. Aufgabe (6 Punkte).
a) Sei n ∈ N. Auf dem C-Vektorraum Cn betrachten wir die Abbildung h·, ·i : Cn ×Cn → C definiert
für alle (a, b) ∈ Cn × Cn als
n
X
ha, bi :=
aj b̄j ,
j=1
wobei b̄j die Konjugierte von bj bezeichnet. Zeigen Sie, dass h·, ·i : Cn × Cn → C ein Skalarprodukt definiert.
b) Wir betrachten den R-Vektorraum R[x] der Polynome mit Koeffizienten in R mit der wie folgt
definierten Abbildung h·, ·i : R[x] × R[x] → R,
Z
∀p, q ∈ R[x],
+1
p(x) · q(x)dx.
hp, qi =
−1
Zeigen Sie, dass durch h·, ·i ein Skalarprodukt auf R[x] definiert wird.
2. Aufgabe (6 Punkte).
Wir betrachten den Untervektorraum R2 [x] der Polynome vom Grad ≤ 2 mit dem Skalarprodukt h·, ·i
aus Aufgabe 1,b).
√
a) Zeigen Sie, dass {p1 , p2 , p3 }, mit p1 (x) = c1 , p2 (x) = c2 x und p3 (x) = 23√52 c3 (x2 − 13 ) bzgl.
des obigen Skalarproduktes paarweise zueinander orthogonal sind, wobei c1 , c2 , c3 6= 0 reelle
Konstanten sind. Wie müssen diese Konstanten gewählt werden, damit hpj , pj i = 1 für j = 1, 2, 3
gilt?
b) Wir wissen, dass {p1 , p2 , p3 } eine Basis im R2 [x] bilden, und zwar für jede Wahl von c1 , c2 , c3 6= 0.
Stellen Sie das Polynom q mit q(x) = 1 − 2x in dieser Basis dar, wobei Sie die in a) berechneten
Koeffizienten verwenden.
3. Aufgabe (6 Punkte).
p
Sei V ein K-Vektorraum (K = R oder C), h·, ·i : V × V → K ein Skalarprodukt und k·k := h·, ·i die
zugehörige Norm.
a) Sei M ⊆ V eine Menge. Zeigen Sie, dass M ⊥ := {u ∈ V : hu, vi = 0, ∀v ∈ M } ein Untervektorraum von V ist.
b) Seien nun K = C und V = Cn , sowie h·, ·i das kanonische Skalarprodukt aus Aufgabe 1.a) oben.
Für einen festen Vektor v ∈ V ist die Zuordnung
w 7→ hw, vi
für alle w ∈ V
eine lineare Abbildung auf dem Vektorraum V , die man oft schreibt als h·, vi. Charakterisieren
Sie die Untermenge U ⊂ V auf der diese Abbildung reellwertig ist, indem Sie eine Bedingung für
den Real- und Imaginärteil des Arguments w = w1 + iw2 herleiten, also für w1 = Re(w) ∈ Rn
und w2 = Im(w) ∈ Rn , wobei Sie v1 , v2 ∈ Rn mit v = v1 + iv2 als fest gegeben annehmen können.
Beachten Sie, dass in C die Rechenregeln ab = āb̄ und a + b = ā + b̄, ∀a, b ∈ C gelten (siehe
Präsenzaufgabe). Ist U ein Untervektorraum? Beweisen Sie Ihren Befund.
4. Präsenzaufgabe.
Zeigen Sie, dass die Komplexkonjugation in C die in Aufgabe 3.b) beschriebenen Eigenschaften hat.
Betrachten Sie die folgenden Aussagen und entscheiden Sie ob sie wahr oder falsch sind. Begründen
Sie Ihre Antwort.
a) Für zwei Mengen A, B, gilt |A ∪ B| = |A| + |B|, wobei |·| die Kardinalität bezeichnet.
b) Es seien v, w Vektoren im R2 . Der Vektor u = hv, wiv − kvk2 w steht senkrecht auf v, wobei h·, ·i
das Euklidsche/kanonische Skalarprodukt auf R2 bezeichnet.
c) Es sei U ein Untervektorraum eines K-Vektorraums V . Aus u 6∈ U, v ∈ U folgt u + v 6∈ U .
d) Für jede Zahl a ∈ R ist U = {x = (x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 | x1 = a} ein Untervektorraum des R3 .
e) Es seien v, w ∈ Rn , n ∈ N, n ≥ 2. Es gilt hv − w, v + wi = kvk2 − kwk2 , wobei h·, ·i das
Euklidsche/kanonische Skalarprodukt auf Rn bezeichnet.
f) Es seien v, w ∈ R2 . Wenn v ⊥ w, dann folgt kv + wk2 = kvk2 + kwk2 .
g) Es gilt Z \ N = −N0 .
Abgabe:
Dienstag, 08.12.2015 vor der Vorlesung.
Die ersten drei Aufgaben sind auf getrennten Blättern zu bearbeiten und mit Namen, Matrikelnummer
und Übungsgruppe zu versehen. Die Präsenzaufgabe wird in der Übung verglichen.
Abgabe in Dreiergruppen ist erlaubt.

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