Blatt 2

Dr. Ralf Gerkmann
Maximilian Jeblick
Freitag, 17. Oktober 2014
Analysis mehrerer Variablen (Lehramt Gymnasium)
— Blatt 2 —
(Tutoriumsblatt)
Aufgabe 1
Sei M2,R der R-Vektorraum der reellen 2 × 2-Matrizen und B = (B11 , B12 , B21 , B22 ) die Basis von M2,R
bestehend aus den Basismatrizen.
(a) Wiederholen Sie den Begriff der Bilinearform auf einem R-Vektorraum. Welche Beispiele wurden
in der Vorlesung behandelt?
(b) F¨
ur jede Matrix A ∈ M2,R sei a11 (A) ∈ R der Matrixeintrag in der linken oberen Ecke. Zeigen Sie,
dass durch b : M2,R × M2,R → R, (A, B) → a11 (AB) eine Bilinearform auf V definiert ist.
(c) Wie ist die Darstellungsmatrix MB (b) einer Bilinearform b bez¨
uglich einer geordneten Basis B
definiert?
(d) Bestimmen Sie MB (b) f¨
ur die Bilinearform b aus Aufgabenteil (b). Ist b symmetrisch?
Aufgabe 2
Sei V = R3 und E = (e1 , e2 , e3 ) die Einheitsbasis. Sei außerdem b die eindeutig bestimmte Bilinearform
auf ME (b) = A, wobei A die Matrix

3

0

−1

−1

−1

1
0
2
−1
bezeichnet.
Ohne Beweis darf verwendet werden, dass b ein Skalarprodukt ist.
(a) Wie ist f¨
ur einen Vektor v die L¨
ange v
b
definiert? Was bedeutet v ⊥b w f¨
ur v, w ∈ V ?
(b) Bestimmen Sie ein α ∈ R, so dass f¨
ur v1 = αe1 die Gleichung v1
b
= 1 erf¨
ullt ist.
(c) In der Vorlesung wurde beschrieben, wie man die Orthogonalprojektion πU auf einen Untervektorraum U ⊆ V berechnen kann, sofern eine ON-Basis von U bekannt ist. Schauen Sie nach, wie πU
definiert ist.
(d) Sei U1 = v1 und πU1 die Orthogonalprojektion auf U1 bez¨
uglich b. Berechnen Sie v˜2 = e2 −πU1 (e2 )
und ein skalares Vielfaches v2 von v˜2 mit v2
b
= 1.
(e) Sei U2 = v1 , v2 . Berechnen Sie v˜3 = e3 − πU1 (e3 ) und ein skalares Vielfaches v3 von v˜3 , so dass
v3
b
= 1 gilt
¨
(f) Uberpr¨
ufen Sie, dass durch (v1 , v2 , v3 ) eine ON-Basis von V bez¨
uglich b gegeben ist.
Aufgabe 3
Sei V ein endlich-dimensionaler R-Vektorraum und b eine symmetrische Bilinearform auf V .
(a) Zeigen Sie: Ist U ein Untervektorraum von V , dann ist auch U ⊥ = {v ∈ V | b(u, v) = 0 ∀ u ∈ U }
ein Untervektorraum.
(b) Setzen wir nun voraus, dass b positiv definit ist. Was bedeutet das nach Definition? Zeigen Sie,
dass in diesem Fall V ⊥ = {0V } gilt.
(c) Sei nun V = R3 und b die eindeutig bestimmte Bilinearform auf V mit


2 1
1



ME (b) = 
1 2 −1
1 −1 2
bez¨
uglich der Einheitsbasis E = (e1 , e2 , e3 ). Bestimmen Sie eine Basis von V ⊥ .
Dieses Blatt wird vom 20. bis zum 24. Oktober in den Tutorien bearbeitet.
Analysis mehrerer Variablen (Lehramt Gymnasium)
— Blatt 2 —
(Global¨
ubungsblatt)
Aufgabe 1
Sei V = Mn,R der R-Vektorraum der reellen n × n-Matrizen und E = (e1 , ..., en ) die Einheitsbasis im
Rn . Wir betrachten die Abbildung
n
b:V ×V →R
ek , t ABek
(A, B) →
,
k=1
wobei ·, · wie immer das euklidische Standard-Skalarprodukt auf V bezeichnet.
(a) Zeigen Sie, dass durch b eine symmetrische Bilinearform auf V definiert ist.
(b) Sei nun n = 2. Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von b bez¨
uglich der Basis B aus der Tutoriumsaufgabe.
(c) Bestimmen Sie MC (b) f¨
ur C = (A1 , A2 , A3 , A4 ) mit
A1 =
1
0
0
0
,
A2 =
1
1
0
0
,
A3 =
1
1
1
0
,
A4 =
1
1
1
1
Aufgabe 2
Sei V = C([−1, 1]) der Vektorraum der stetigen Funktionen auf dem Intervall [−1, 1] ⊆ R. F¨
ur jedes
n ∈ N0 sei fn ∈ V gegeben durch fn (x) = xn und Un = f0 , ..., fn
R.
Sei b : V × V → R gegeben durch
1
b(f, g)
=
f (x)g(x) dx.
−1
Ohne Beweis darf verwendet werden, dass b ein Skalarprodukt auf V ist.
(a) Die Folge der Legendre-Polynome ist rekursiv definiert durch
p0 = 1
und
p˜n+1 = fn+1 − πUn (fn+1 ) ,
pn+1 =
2
2n+3
p˜n+1
p˜n+1
f¨
ur n ≥ 0.
b
Berechnen Sie pn f¨
ur n = 0, 1, 2, 3. Beachten Sie dabei, dass die Legendre-Polynome zwar bez¨
uglich
b zueinander orthogonal sind, aber keine ON-Basis bilden.
(b) F¨
ur jedes n ∈ N0 sei Bn die Basis von Un gegeben durch Bn = (p0 , p1 , ..., pn ). Bestimmen Sie die
Koordinaten des Elements f (x) = x2 + x + 1 in U2 bez¨
uglich B2 .
(c) F¨
ur jedes n ∈ N0 sei bn die Einschr¨
ankung von b auf Un . Geben Sie die Darstellungsmatrix von b2
bez¨
uglich der Basis B2 und bez¨
uglich der Basis (f0 , f1 , f2 ) an.
Aufgabe 3
Sei b : V × V → R eine symmetrische Bilinearform. Der Ausartungsraum von b ist nach Definition der
Untervektorraum V ⊥ = {v ∈ V | b(v, w) = 0 ∀ w ∈ V } von V .
(a) Sei B eine beliebige geordnete Basis von V . Zeigen Sie: Ist V ⊥ = {0V }, dann folgt daraus
det MB (b) = 0.
Hinweis:
Erweitern Sie zun¨
achst eine Basis von V ⊥ zu einer Basis B von V . Wie sieht die Darstel-
lungsmatrix MB (b) aus? Verwenden Sie anschließend die Transformationsformel f¨
ur Bilinearformen,
um das Ergebnis auf beliebige geordnete Basen zu u
¨bertragen.
(b) Sei V = R2 und b die eindeutig bestimmte Bilinearform mit
ME (b)
=
1
−1
−1
1
.
bez¨
uglich der Einheitsbasis E. Bestimmen Sie einen Vektor in V ⊥ \ {0V }.
Abgabe: bis Donnerstag, 30. Oktober, 14:15 Uhr
¨
Bitte geben Sie bei jeder Abgabe die Nummer Ihrer Ubungsgruppe
an!

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