Algebra I, WS 15/16

Algebra I, WS 15/16
Prof. Dr. H. Laue
3. 11. 15
4. Sei M ein freies kommutatives Monoid. Man zeige, daß es eine abelsche
Gruppe gibt, die M als Teilmonoid enthält.
5. Sei X eine Basis eines freien kommutativen Monoids M . Man entscheide,
ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind:
(i) Ist Y ein Monoid-Erzeugendensystem von M , so gilt X ⊆ Y .
(ii) Ist Y eine unabhängige Teilmenge von M , so gilt Y ⊆ X.
(iii) Ist Y eine Basis von M , so gilt X = Y .
6. Sei X eine Menge.
(a) Sei T die Menge aller Tupel über X. Sind m, n ∈ N0 , x1 , . . . , xm ,
y1 , . . . yn ∈ X, so setzen wir
(x1 , . . . , xm ) · (y1 , . . . , yn ) := (x1 , . . . , xm , y1 , . . . , yn ).
Man zeige daß (T ; ·) ein Monoid ist. Welche Teilmengen von T sind
Monoid-Erzeugendensysteme von (T ; ·)?
(b) Man zeige, daß es ein von X erzeugtes Monoid (M ; ◦) mit folgender
Eigenschaft gibt: Jede Abbildung f von X in die Trägermenge N eines
Monoids (N ; ·) läßt sich zu einem Homomorphismus von (M ; ◦) in
(N ; ·) fortsetzen.
7. Sei K ein Körper.
(a) Sei N die Menge der normierten Polynome in K[t]. Ist (N ; ·) ein freies
kommutatives Monoid?
(b) Sei N wie in (a). Für welche g ∈ N ist die Menge {f |f ∈ N, g - f }
N
multiplikativ abgeschlossen?
(c) Gibt es zu jedem unitalen Algebren-Homomorphismus ϕ von K[t, t0 ]
in eine kommutative unitäre K-Algebra ein f ∈ K[t, t0 ] mit Kern ϕ =
f K[t, t0 ]?
Abgabe: Di, 10. 11. 15, 12:00 Uhr (Schrein)

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