HA02 - TU Bergakademie Freiberg

TU Bergakademie Freiberg
Institut für Diskrete Mathematik und Algebra
Prof. Dr. Martin Sonntag
Dr. Uwe Weber
Freiberg, den 24. April 2015
Lineare Algebra II für Mm/BWM
2. Hausaufgabe
Abgabe in der Übung in der Woche vom 4. 5. 2015
1. Es seien
das Skalarprodukt
hx, yi := 2x1 y1 − 3x1 y2 − 3x2 y1 + 9x2 y2 und die Basis
−1
1
B=
,
1
1
gegeben. Ermitteln Sie die Fundamentalmatrizen bezüglich der kanonischen Basis
und bezüglich B.
2. Bezüglich des üblichen Skalarprodukts im 3-dimensionalen Euklidischen Raum berechne man die Norm der Vektoren


 
−1
2
a =  3  und b =  3  sowie den von ihnen eingeschlossenen Winkel.
3
4
3. p
Sei V unitärer Raum, durch das Skalarprodukt h·, ·i sei wie üblich die Norm kxk :=
hx, xi definiert. Man zeige die sogenannte Polarisationsidentität
hx, yi =
1
kx + yk2 − kx − yk2 + ikx + iyk2 − ikx − iyk2 .
4
4. Sei V Vektorraum über K ∈ {R, C} mit Skalarprodukt h·, ·i und kxk :=
p
hx, xi.
a) Man zeige: Für K = R gilt für alle x, y ∈ V : kx + yk2 = kxk2 + kyk2 ⇐⇒ x ⊥ y
b) Man gebe ein Beispiel in M2,1 (C) mit dem üblichen Skalarprodukt an, bei
dem „=⇒“ nicht gilt.
5. Zusatzaufgabe: Sei V Euklidischer oder unitärer Vektorraum, U1 , U2 ∈ Sub(V ).
Man zeige die Beziehung (U1 + U2 )⊥ = U1⊥ ∩ U2⊥ .
6. Es seien


0
 5 

a1 = 
 12  ,
0


0
 −2 

a2 = 
 29  ,
0

3
 −3 

a3 = 
 23  ,
4


−1
 29 

x=
 12  .
7
Der Unterraum U ⊂ M4,1 (R) werde von {a1 , a2 , a3 } erzeugt.
1

a) Ermitteln Sie mit Hilfe des Schmidtschen Verfahrens eine Orthonormalbasis
in U .
b) Was ist das orthogonale Komplement von L ({a1 , a2 }) in U ?
c) Ermitteln Sie die orthogonale Projektion von x auf U .
7. Zusatzaufgabe: Es bezeichne CL2 [−π, π] den Vektorraum aller stetigen reellwertigen Funktionen auf [−π, π], versehen mit dem Skalarprodukt (auf den Nachweis
der Axiome des Skalarprodukts wird hier verzichtet)
Z
1 π
f (x)g(x) dx.
hf, gi :=
π −π
Man zeige: Das Funktionensystem {fn |n ∈ N \ {0}} mit fn (x) = sin nx bildet
bezüglich dieses Skalarprodukts ein Orthonormalsystem in CL2 [−π, π].
2

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