Übung 2

ÜBUNGEN ZUR VORLESUNG
SCHUBERT VARIETÄTEN
ÜBUNGSBLATT 2
Aufgabe 1.
Sei Λj k n , 1 ≤ j ≤ n, ein Vektorraum mit der folgenden universellen Eigenschaft:
n
Es gibt eine alternierende multilineare Abbildung i : k
. . × k n} → Λj k n , so dass für alle
| × .{z
j
alternierenden multilinearen Abbildungen
Ψ : |k n × .{z
. . × k n} → W
j
W ein Vektorraum, gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
φ : Λj k n → W, so dass Ψ = φ ◦ i.
Zeigen Sie: Ein solcher Vektorraum ist, bis auf Isomorphie, eindeutig bestimmt. Weiter,
sei {e1 , . . . , en } die kanonische Basis des k n und bezeichne mit ek1 ∧ . . . ∧ ekj das Bild
i(ek1 , . . . , ekj ). Zeigen sie, dass
{ek1 ∧ . . . ∧ ekj | 1 ≤ k1 < . . . < kj ≤ n} ist eine Basis von Λj k n .
Aufgabe 2.
sei g ∈ GLn (k), dann definiert g eine Isomorphismus k n → k n durch v 7→ gv. Man
bekommt eine induzierte multilineare und alternierende Abbildung
n
k
. . × k n} → Λj k n , (v1 , . . . , vj ) 7→ i(gv1 , . . . , gvj ).
| × .{z
j
Nach Aufgabe 1) erhalten wir eine induzierte lineare Abbildung Λj (g) : Λj k n → Λj k n .
Zeigen Sie: Dies ist ein Isomorphismus.
Aufgabe 3. Sei g ∈ GLn (k).
Zeige:
X
i <...<i
Λj (g)(ei1 ∧ . . . ∧ eij ) =
Minor`11 <...<`jj (g)e`1 ∧ . . . ∧ e`j
1≤`1 <...<`j ≤n
i <...<i
Minor`11 <...<`jj (g)
wobei
die Determinante der Untermatrix von g ist bestehend aus den
Spalten i1 < . . . < ij und Zeilen `1 < . . . < `j .
Aufgabe 4.
Zeige: Jede Matrix A ∈ Mn (k) mit Am = Id für ein m ≥ 1 ist diagonalisierbar.
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