Blatt 6 - FA - Bergische Universität Wuppertal

Andr´as B´atkai
Sven-Ake Wegner
Katharina Baumann
Bergische Universit¨at Wuppertal
SS 2015
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Lineare Algebra I: Ubungsblatt
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Ubungsaufgaben
Aufgabe A. Sei M eine nichtleere Menge, M1 , M2 ⊆ M nichtleer mit M1 ∩ M2 = ∅ und
M1 ∪ M2 = M . Sei V ein Vektorraum. Wir setzen Ui = {f ∈ V M ; f |M \Mi = 0} f¨
ur i = 1, 2.
Zeigen Sie, daß V M = U1 ⊕ U2 gilt.
Aufgabe B. Wir betrachten den Vektorraum R3 . Bestimmen Sie ein Komplement des linearen
Unterraums U = h(1, 2, 3), (−2, 3, 1), (4, 1, 5)i.
Aufgabe C. Zeigen Sie, daß durch n 6 m :⇔ n|m die Menge der nat¨
urlichen Zahlen zu einer
teilweise geordneten Menge wird. Zeigen Sie, daß die Menge nicht streng geordnet ist.
Hausaufgaben
Aufgabe 1. (10 Punkte) Wir betrachten den Vektorraum R3 .
(i) Finden Sie vier Vektoren a, a0 , b, b0 ∈ R3 sodaß f¨
ur A := ha, a0 i und B := hb, b0 i folgendes
gilt:
A + B = R3 und A ∩ B = h(1, 1, 1)i.
(ii) Finden Sie vier Vektoren c, c0 , d, d0 ∈ R3 sodaß f¨
ur C := hc, c0 i und D := hd, d0 i folgendes
gilt:
C + D = (a, b, c) ; a + 2b + 3c = 0 und C ∩ D = h(1, 1, −1), (5, −1, −1)i.
Aufgabe 2. (10 Punkte) Wir
R4 . Bestimmen Sieein Komplement
betrachten den Vektorraum
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des linearen Unterraums V = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R ; 3x1 − 2x2 + x3 + 2x4 = 0 .
L
Aufgabe 3. (10 Punkte) Wir betrachten die direkte Summenzerlegung V = ni=1 Ui eines
K-Vektorraums V in lineare Unterr¨
aume Ui ⊆ V , sowie f¨
ur jedes i = 1, . . . , n eine Familie
(xij )j∈Ji von Elementen xij ∈ Ui . Zeigen Sie, daß die Elemente xij , i = 1, . . . , n, j ∈ Ji , genau
dann eine Basis von V bilden, wenn f¨
ur jedes i = 1, . . . , n die Elemente xij , j ∈ Ji , eine Basis
von Ui bilden.
Aufgabe 4. (10 Punkte) Zeigen Sie, daß jede nichtleere Menge M durch x 6 y :⇔ x = y zu
einer teilweise geordneten Menge wird. Ist diese Menge streng geordnet?
Abgabe: Bis Donnerstag, 21.05.2015, zu Beginn der Vorlesung in HS 10.

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