§9 Euklidische Vektorr¨aume Pink: Lineare Algebra 2014/15 9.18 Seite 96 Spektralsatz fu ¨ r normale Endomorphismen Wie vorher sei V ein euklidischer Vektorraum. Definition: Eine lineare Abbildung f : V → V , deren Adjungierte f ∗ existiert und die Gleichung f ∗ ◦ f = f ◦ f ∗ erf¨ ullt, heisst normal. Proposition: (a) Jede selbstadjungierte lineare Abbildung ist normal. ∼ (b) Jede orthogonale lineare Abbildung f : V → V ist normal. Beispiel: Insbesondere ist nach (a) jede reelle Diagonalmatrix normal. Beispiel: F¨ ur alle a, b ∈ R kommutiert die Matrix A := ist die Abbildung LA : R2 → R2 normal. !a −b b a " mit AT = ! a b −b a " ; also Spektralsatz: F¨ ur jeden normalen Endomorphismus f eines endlich-dimensionalen unit¨aren Vektorraums V existiert eine geordnete Orthonormalbasis B von V , bez¨ uglich welcher die Darstellungsmatrix von f die folgende Blockdiagonalgestalt hat: ⎛ ⎞ # D1 ak mit ak ∈ R oder ⎜ ⎟ .. ⎟ MB,B (f ) = ⎜ mit D = ! " . k ⎝ ⎠ ak bk mit ak , bk ∈ R. Dr −bk ak §9 Euklidische Vektorr¨aume Pink: Lineare Algebra 2014/15 9.19 Seite 97 Klassifikation orthogonaler Endomorphismen Sei V ein endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum. Proposition: F¨ ur jeden orthogonalen Endomorphismus f von V gilt det(f ) = ±1. Satz: F¨ ur jeden orthogonalen Endomorphismus f von V existiert eine geordnete Orthonormalbasis B von V , bez¨ uglich welcher die Darstellungsmatrix von f die folgende Blockdiagonalgestalt hat: ⎧ ⎛ ⎞ ⎪ ⎨ ! ±1 " oder D1 ⎜ ⎟ .. ak bk ⎟ MB,B (f ) = ⎜ mit Dk = . mit ak , bk ∈ R ⎝ ⎠ −bk ak ⎪ ⎩ Dr und a2k + b2k = 1. Gilt weiter det(f ) = 1, so kann man alle 1 × 1-Blockdiagonaleintr¨age gleich 1 w¨ahlen. Definition: Sind alle Blockdiagonaleintr¨age ausser einem gleich 1, und ist dieser (a) gleich !−1, so "heisst f eine Spiegelung (an einer Hyperebene). (b) gleich −bakk abkk , so heisst f eine Drehung um den Winkel ± arg(ak + ibk ). Proposition: Jeder orthogonale Endomorphismus von V ist eine Komposition von Spiegelungen. Insbesondere ist die orthogonale Gruppe O(n) von Spiegelungen erzeugt. Definition: Ein orthogonaler Endomorphismus f mit det(f ) = 1 heisst speziell orthogonal. Die Menge SO(n) = SOn (R) aller orthogonalen n × n-Matrizen mit Determinante 1 heisst die spezielle orthogonale Gruppe vom Grad n. Proposition: Jeder spezielle orthogonale Endomorphismus ist eine Komposition von Drehungen. Insbesondere ist die spezielle orthogonale Gruppe SO(n) von Drehungen erzeugt. Proposition: ( Satz vom Fussball“) Jedes Element von SO(3) ist eine Drehung. ” ¨ Ubrigens: Dass eine Katze sich in der Luft auf die F¨ usse drehen kann, h¨angt unter anderem damit zusammen, dass die Gruppe SO(3) nicht kommutativ ist. Beispiel: Siehe §9.13.
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