AMWC 2015 - Grimaldi forum

Psi 945 – 2014/2015
http://blog.psi945.fr
DM 5
Stickers et nilpotents
À rendre le mardi 4 novembre 2014
1
Le problème du collectionneur
Une marque de céréales propose en cadeau dans chacune de ses boîtes une image autocollante. Il y a N
images au total (numérotées de 1 à N ) et on suppose qu’elles sont équiprobables dans chaque boîte.
Un collectionneur achète des boîtes de céréales : on note In le numéro de l’image obtenue dans la n-ème
boîte et on suppose les variables aléatoires (In )n>1 indépendantes.
On note Xn le nombre d’images différentes en possession du collectionneur après avoir acheté n boîtes.
1. (a) Donner, pour tout n > 1, la loi de In .
(b) Que vaut X1 ? Que dire, pour tout n > 1, de Xn+1 − Xn ?
(c) Calculer, pour tout n > 1, P(Xn = 1).
2. On s’intéresse, pour n > 1, à αn = P(Xn = 2).
(a) Donner les valeurs de αn pour 1 6 n 6 3.
(b) Trouver une formule de récurrence vérifiée par (αn )n>1 .
(c) Déterminer les premiers termes, puis une formule relativement simple pour αn .
3. Soient k ∈ [[2, N ]] et n > 1. Montrer :
P(Xn+1
k−1
k
P(Xn = k − 1).
= k) = P(Xn = k) + 1 −
N
N
4. (a) Montrer (à l’aide de la question précédente 1 ) que pour tout entier n > 1 :
1
E(Xn+1 ) = 1 −
E(Xn ) + 1.
N
(b) Déterminer, pour n > 1, la valeur de E(Xn ) ; puis la limite de cette espérance lorsque n tend
vers +∞.
5. Maintenant, la variance
(a) Montrer de même que pour tout entier n > 1 :
2
1
2
E(Xn2 ) + 2 −
E(Xn ) + 1.
E(Xn+1
)= 1−
N
N
2
(b) Vérifier que pour tout n > 1, Xn2 6 Xn+1
.
2
(c) En déduire que la suite E(Xn ) n>1 converge, et déterminer sa limite.
(d) Montrer que la variance de Xn tend vers 0 lorsque n tend vers +∞.
6. On suppose dans cette dernière question que le collectionneur brave le destin en n’achetant que N
boîtes.
(a) Quelle est la probabilité que sa collection soit complète ?
(b) Déterminer un équivalent simple quand N tend vers +∞ du nombre moyen d’images en sa
possession.
1. Qu’on commencera par étendre à k = 1.
1
2
Nilpotents en petite dimension
E désigne ici un K-espace vectoriel de dimension finie, et on s’intéresse aux endomorphismes nilpotents
de E, c’est-à-dire aux u ∈ L(E) vérifiant up = 0 pour un certain p ∈ N.
1. Montrer que si p est le plus petit entier strictement positif tel que up = 0 (on
dit alors que p l’indice
de nilpotence de u), alors il existe x0 ∈ E tel que x0 , u(x0 ), · · · , up−1 (x0 ) est libre. Que peut-on
en déduire sur p ?
2. Montrer que si p est l’indice de nipotence de u, alors Im (up−1 ) est un sous-espace de Ker u qui
n’est pas réduit à {0E }.
3. On suppose ici que E est de dimension 2 et que u ∈ L(E) est non-nul
etnilpotent. Montrer qu’il
0 1
existe une base de E telle que la matrice de u dans cette base est
.
0 0
On pourra prendre un vecteur en dehors du noyau, ainsi que son image par u...
4. On suppose ici que E est de dimension 3 et que u ∈ L(E) est non-nul et nilpotent.
(a) Montrer que l’ordre de nilpotence de u vaut 2 ou 3.
(b) On suppose ici que l’ordre de nilpotence est 2. Montrer que Im u est strictementinclus dans

0 1 0
Ker u. En déduire qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est N1 = 0 0 0.
0 0 0
On pourra choisir un vecteur en dehors du noyau, considérer son image par u, et prendre un
dernier vecteur dans le noyau mais pas dans l’image !
(c) On suppose ici que l’ordre de nilpotence
de 
u est 3. Montrer qu’il existe une base de E dans

0 1 0
laquelle la matrice de u est N2 = 0 0 1.
0 0 0
(d) Montrer qu’il n’existe pas v ∈ L(E) et deux bases E et F de E telles que Mat(v, E) = N1 et
Mat(v, F) = N2 .
5. On suppose cette fois que E est de dimension 4, et on considère les matrices :








0 1 0 0
0 1 0 0
0 1 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 1 0







N1 = 
0 0 0 1 N2 = 0 0 0 0 N3 = 0 0 0 0 N4 = 0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(a) (Facile) Calculer le rang et l’indice de nilpotence de chacune de ces matrices.
(b) Montrer qu’il ne peut exister u ∈ L(E) ayant pour matrice N1 dans une base et N2 dans une
autre.
(c) De même, montrer que si 1 6 i < j 6 4, il ne peut exister u ∈ L(E) ayant pour matrice Ni
dans une base et Nj dans une autre.
(d) (Question difficile et optionnelle) Soit u ∈ L(E) nilpotent. Montrer qu’il existe une base de
E dans laquelle la matrice de u est l’une des quatre matrices Ni vues plus haut.
6. On termine par les matrices nilpotentes de M5 (R).
(a) Montrer que les matrices




0 1 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
 0 0 0 0 0







A = 0 0 0 0 0 et B = 
 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
sont semblables, c’est-à-dire, au choix :
– il existe P ∈ GL5 (R) telle que P −1 AP = B ;
– si on note u l’endomorphisme (de R5 ) canoniquement associé à A, alors il existe une base
de R5 dans laquelle la matrice de u est B.
(b) Exhiber 6 matrices nilpotentes non nulles de M5 (R) dont on montrera qu’elles ne sont pas
semblables.
2

Download Report