1
m; n を自然数として，関数 f(x) = xm (1 ¡ x)n を考える．このとき以下の各問いに答えよ．
(1) 0 5 x 5 1 における f(x) の最大値を m; n を用いて表せ．
Z1
(2) 定積分
f(x) dx を m; n を用いて表せ．
0
(3) a; b; c を実数として，関数 g(x) = ax2 + bx + c の 0 5 x 5 1 における最大値を M(a; b; c) とする．
次の 2 条件 ‘; ’ が成立するとき，M(a; b; c) の最小値を m; n を用いて表せ．
‘ g(0) = g(1) = 0
’ 0 < x < 1 のとき f(x) 5 g(x)
(4) m; n が 2 以上の自然数で m > n であるとき
(m + n + 1)!
(m + n)m+n
>
> 22n¡1
m!n!
mm n n
が成立することを示せ．
（ 東京医科歯科大学 2013 ）

問題PDF版

(1 + cosµ)(cosµ + p3 sinµ)+4 とおく．極方程式 r = f(µ

2 次関数 f(x) = x 2 ¡ 2ax + 2a (0 ≦ x ≦ 2)

ベンチュリー流量

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