2 + 4y2 = 4 と直線 ` : y = ax + b fm(x) = V 1 (m = 0

年番号
1
a < 0，b を実数とする．楕円 C : x2 + 4y2 = 4 と直線 ` : y = ax + b が異
2
氏名
n を自然数とし，関数 fm (x) (m = 0; 1; 2; Ý; n) を次のように定める．
なる 2 個の共有点 P(x1 ; y1 )，Q(x2 ; y2 ) (x1 < x2 ) を持つとし，` に平行
な直線 m が第 1 象限の点 A において C と接しているとする．次に答えよ．
(1) b の値の範囲を a を用いて表せ．
fm (x) = V
1
(m = 0)
xm (m = 1)
さらに，ak (k = 0; 1; 2; Ý; n) を次のように定める．
(2) 直線 m の方程式を a を用いて表せ．
(3) x2 ¡ x1 を a; b を用いて表せ．
ak =
(4) 三角形 APQ の面積 S を a; b を用いて表せ．
(5) b が (1) で求めた範囲を動くとき，(4) で求めた S の最大値を求めよ．
（九州工業大学 2016 ）
Z
1
¡1
fk (1 ¡ x)fn¡k (1 + x) dx
以下の問いに答えよ．
(1) a0 と a1 をそれぞれ n を用いて表せ．
(2) k = 1 のとき，ak を n; k; ak¡1 を用いて表せ．
(3) ak を n; k を用いて表せ．
n
P
1
(4)
を n を用いて表せ．
a
k
k=0
（九州工業大学 2015 ）
3
四面体 OABC において，三角形 ABC は 1 辺の長さが 1 の正三角形であり，
OA = OB = OC = 2 とする．また，点 C を通り平面 OAB に垂直な直線
4
n を 2 以上の自然数とし，関数 f(x) を f(x) = xn log x (x > 0) とする．
ただし，対数は自然対数とする．次に答えよ．
上に点 D があり，線分 CD の中点 H は平面 OAB に含まれるとする．すな
(1) x > 0 のとき，不等式 log x +
わち，点 D は平面 OAB に関して，点 C と対称な点である．
(2) lim xn log x = 0 を示せ．
1
> 0 を証明せよ．
x
x!+0
(3) 関数 f(x) の増減を調べ，その最小値を求めよ．また，曲線 y = f(x) の
概形をかけ．ただし，曲線の凹凸は調べなくてよい．
(4) f(x) が最小値をとるときの x の値を cn とし
In =
Z
1
cn
f(x) dx
とする． lim n 2 In を求めよ．
n!1
（九州工業大学 2015 ）
¡! ¡
! ¡! ¡
! ¡! ¡
!
OA = a ，OB = b ，OC = c とおいて，次に答えよ．
¡
! ¡
!
¡! ¡
!
(1) 内積 a ¢ b および BC ¢ a を求めよ．
¡! ¡
! ¡
!
¡! ¡
! ¡
! ¡
!
(2) OH を a ; b で表せ．また，OD を a ; b ; c で表せ．
¡
! ¡
! ¡
!
¡
! ¡
!
(3) 直線 BH と直線 OA の交点を P とする．BP を a ; b で表し，BP ¢ a を
求めよ．さらに，OP および BP の長さを求めよ．
(4) (3) で定めた点 P に対して，四角形 BCPD の面積 S を求めよ．また，四角
錐 O-BCPD の体積 V を求めよ．
（九州工業大学 2015 ）

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