1 四面体 OABCにおいて，P を辺 OA の中点，Q を辺

1
四面体 OABC において，P を辺 OA の中点，Q を辺 OB を 2 : 1 に内分する点，R を辺 BC の中
¡! ¡
! ¡! ¡
! ¡! ¡
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点とする．P，Q，R を通る平面と辺 AC の交点を S とする．OA = a ，OB = b ，OC = c と
おく．以下の問に答えよ．
¡! ¡!
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! ¡
! ¡
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(1) PQ，PR をそれぞれ a ; b ; c を用いて表せ．
¡
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¡
!
(2) 比 AS : SC を求めよ．
¡
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(3) 四面体 OABC を 1 辺の長さが 1 の正四面体とするとき， QS を求めよ．
（神戸大学 2016 ）
2
p
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¡
! ¡!
¡
!
¡
!
¡
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¡
! ¡
!
4ABC において，AB = b ，AC = c とおき，j b j = 1，j c j = 3， b ¢ c = 1 であるとす
る．辺 BC を 1 : 2 に内分する点を D，線分 AD に関して B と対称な点を E，直線 AE と辺 BC の
交点を F とする．このとき，次の問いに答えよ．
¡! ¡
!
(1) AE を b ;
¡! ¡
!
(2) AF を b ;
¡
!
c を用いて表せ．
¡
!
c を用いて表せ．
(3) DF : BC を求めよ．
（静岡大学 2015 ）
3
1
に対し OA を s : (1 ¡ s) に内分する点
2
¡! ¡
!
¡
!
を P とし，0 < t < 1 に対し OC を t : (1 ¡ t) に内分する点を Q とする．OA = a ，OB = b ，
¡! ¡
!
OC = c とおくとき，以下の問いに答えよ．
1 辺の長さ 1 の正四面体 OABC を考える．0 < s <
¡
! ¡!
¡
! ¡
! ¡
!
(1) PB，PQ をそれぞれ a ; b ; c ; s; t を用いて表せ．
±
(2) ÎBPQ = 90 であるとき，t を s を用いて表せ．
(3) (2) の条件の下で，t の最大値とそのときの s の値を求めよ．
2
(4) (3) で求めた s; t に対して，PQ を求めよ．
（熊本大学 2016 ）
4
平面上で鋭角三角形 4ABC の外側に，AB および AC を 1 辺とする正方形 ABFG，ACDE をつ
¡!
¡! ¡!
¡!
くる．ただし，jABj = jAGj，jACj = jAEj とする．線分 EG の中点を M，点 C から AB に下ろ
¡! ¡
! ¡! ¡
!
¡
!
した垂線の足を H，直線 AM と CH の交点を P とする．AB = a ，AC = b とおき，j a j = 1，
¡
!
j b j = t，ÎCAB = µ とする．以下の問いに答えよ．
¡! ¡!
(1) AB ¢ AC を t; µ を用いて表せ．
¡! ¡
! ¡
!
(2) HC を a ; b ; t; µ を用いて表せ．
(3) 直線 AM と直線 BC が直交することを示せ．
¡! ¡!
¡
! ¡
!
(4) AG，AE をそれぞれ a ; b ; t; µ を用いて表せ．
¡! ¡
! ¡
!
(5) AP を a ; b ; t; µ を用いて表せ．
¡
! ¡!
(6) BP ¢ AC を求めよ．
（同志社大学 2014 ）
5
平面上に長さ 2 の線分 AB を直径とする円 C がある．2 点 A，B を除く C 上の点 P に対し，AP =
AQ となるように線分 AB 上の点 Q をとる．また，直線 PQ と円 C の交点のうち，P でない方を
R とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) 4AQR の面積を µ = ÎPAB を用いて表せ．
¡! ¡! ¡!
(2) 点 P を動かして 4AQR の面積が最大になるとき，AR を AB と AP を用いて表せ．
（大阪大学 2015 ）

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