(1) m = 1 - SUUGAKU.JP

年番号
1
氏名
1 つのさいころを 4 回投げ，i 回目 (i = 1; 2; 3; 4) に出る目を ai とする．また，出る目
の種類を数え，その数を m とする．例えば，a1 = 2; a2 = 3; a3 = 2; a4 = 5 のとき，
2; 3; 5 の 3 種類の目が出たので m = 3 とする．次に答えよ．
(1) m = 1 となる場合は何通りあるか．
(2) m = 2 となる確率を求めよ．
(3) m の期待値を求めよ．
(4) a1 5 a2 5 a3 5 a4 となる確率を求めよ．
（九州工業大学 2012 ）
2
¼
¼
; ÎAOC =
を満た
2
3
している．線分 OA と OB を s : 1 ¡ s (0 < s < 1) に内分する点をそれぞれ P，Q とし，
¡!
¡
! ¡!
¡
! ¡!
¡
!
4CPQ の重心を G とする．OA = a ; OB = b ; OC = c ; ÎBOC = µ (0 < µ < ¼)
四面体 OABC は OA = 1; OB =
B
15; OC = 2; ÎAOB =
として，次に答えよ．
¡! ¡
! ¡
! ¡
!
(1) ベクトル OG を a ; b ; c と s を用いて表せ．
¡!
(2) ベクトル OG は平面 ABC に垂直であるとする．
(a) s と cos µ の値を求めよ．
(b) 線分 OG と BC の長さ，および ÎBAC を求めよ．
(c) 四面体 OABC の体積 V を求めよ．
（九州工業大学 2012 ）
3
p
® > 1; x > 0 とする．O を原点とする座標平面上に 3 点 A(0; 1)，B(0; ®)，P( x; 0)
がある．次に答えよ．
(1) sin ÎOPB と sin ÎAPB を ® と x を用いて表せ．
(2) sin ÎAPB を x の関数と考え，その関数を f(x) とおく．f(x) の最大値を ® を用いて
表せ．
(3) (2) で求めた最大値が
1
となる ® を求めよ．
2
（九州工業大学 2012 ）
4
a; b を実数とし，関数 f(x)，g(x) を f(x) = a(ex + e¡x )，g(x) = 4x + b とする．
曲線 C : y = f(x) の点 (log 3; f(log 3)) における接線が直線 ` : y = g(x) と一致す
るとき，次に答えよ．ただし，対数は自然対数を表し，e は自然対数の底とする．また，
log 3 < 1:1 を用いてよい．
(1) a; b の値を求めよ．
(2) 曲線 C と直線 ` および直線 x = ¡ log 3 で囲まれた図形の面積 S を求めよ．
(3) 曲線 C と直線 ` および直線 x = ¡ log 3 で囲まれた図形を x 軸のまわりに 1 回転してで
きる立体の体積 V を求めよ．
（九州工業大学 2012 ）
5
関数 f(x) = kx3 ¡ 3kx (k > 0) が表す座標平面上の曲線を C : y = f(x) とする．曲
線 C 上の 2 点 P(p; f(p))，Q(ap; f(ap)) における接線をそれぞれ `1 ; `2 とする．た
だし，p > 0; a Ë 1 とする．以下の問いに答えよ．
(1) 点 P における接線 `1 の方程式を k; p を用いて表せ．
(2) 点 Q における接線 `2 が点 P を通るとき，a の値を求めよ．
(3) ある k に対して 2 つの接線 `1 ; `2 が点 P において垂直に交わっているとき，k を p を用
いて表せ．また，そのような k が存在する p の値の範囲を求めよ．
(4) ある k に対して 2 つの接線 `1 ; `2 が点 P において垂直に交わっているとき，接線 `2 と曲
線 C によって囲まれた図形の面積 S を p を用いて表せ．
（九州工業大学 2012 ）
6
O を原点とする座標平面上に点 A(0; 1) があり，点 A からの距離が 4 である点 P(x; y)
が x > 0，y > 1 をみたすように動く．直線 AP が x 軸の正の向きとなす角を µ，点 P か
ら x 軸に垂線を下ろしたときの交点を Q とする．以下の問いに答えよ．
(1) 点 P の座標を µ を用いて表せ．
(2) 四角形 OAPQ の面積 S を µ を用いて表せ．
(3) (2) で求めた S が最大となるときの sin µ の値を求めよ．
(4) 四角形 OAPQ を x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積 V を µ を用いて表せ．
3
で最大となることを示せ．
(5) (4) で求めた V が sin µ =
4
（九州工業大学 2012 ）
7
O を原点とする座標平面上に点 P0 (1; 1)，Q0 (1; 0) がある．ある p (0 < p < 1) に対し
て，点 P1 (p; p)，Q1 (p; 0) を定め，さらに，自然数 n について点 Pn+1 ，Qn+1 を次のよ
うに定める．
² 点 Qn を通り直線 Q0 P1 と平行な直線と，直線 OP0 の交点を Pn+1 とする．
² 点 Pn+1 を通り y 軸と平行な直線と，x 軸の交点を Qn+1 とする．
また，4Qn¡1 Pn Qn の面積を Sn とするとき，以下の問いに答えよ．
(1) S1 を p を用いて表せ．
(2) 点 Qn¡1 の x 座標を q とするとき，点 Qn の x 座標を p; q を用いて表せ．
(3) Sn を p; n を用いて表せ．
(4) n を定数として，p を 0 < p < 1 の範囲で動かすとき，Sn を最大にする p とそのときの
Sn をそれぞれ n を用いて表せ．
(5) (4) で求めた Sn に対して， lim nSn を求めよ．必要であれば，自然対数の底 e について
n!1
lim(1 + h)
h!0
1
h
= e が成り立つことを用いてよい．
（九州工業大学 2012 ）
8
1 辺の長さが 1 の正三角形の頂点を時計回りに P，Q，R とする．これらの頂点のいずれか
にある動点が，次のように辺上を移動することを 1 回の試行とする．さいころを 1 回投げ
て，1 の目が出れば反時計回りに長さ 1 だけ移動し，6 の目が出れば移動せず，それ以外の
場合は時計回りに長さ 1 だけ移動する．動点は最初に点 P にあり，n 回の試行後に動点が
点 P，Q，R にある確率をそれぞれ pn ; qn ; rn (n = 1; 2; 3; Ý) とする．以下の問いに
答えよ．
(1) p1 ; p2 をそれぞれ求めよ．
(2) q2 ; r2 をそれぞれ求め，さらに p3 を求めよ．
(3) pn+1 を rn を用いて表せ．
(4) pn+3 を pn を用いて表せ．
(5) p3n を n を用いて表せ．
（九州工業大学 2012 ）
9
a; b を正の実数とし，関数 f(x); g(x) をそれぞれ f(x) = 3x¡2a sin x cos x; g(x) =
x2 + b cos2 x ¡ b とする．以下の問いに答えよ．
(1) a = 3 のとき，0 5 x 5 ¼ における f(x) の増減を調べ，極値を求めよ．
(2) a = 1 のとき，x = 0 において f(x) = 0 が成り立つことを示せ．
(3) x = 0 において f(x) = 0 が成り立つような a の範囲を求めよ．
(4) x = 0 において g(x) = 0 が成り立つような b の範囲を求めよ．
（九州工業大学 2011 ）
10 実数 a と行列 A = #
a¡2
¡2a
4a
¡2a + 2
; がある．A が表す座標平面上の点の移動に関す
る以下の二つの条件を考える．
条件 1：原点 O 以外のある点 P が A によって P 自身に移される．
条件 2：原点 O 以外のある点 Q が A によって線分 OQ 上の Q 以外の点に移される．
以下の問いに答えよ．
‘ 条件 1 がみたされるとき，a の値を求めよ．
’ 条件 1，条件 2 の両方がみたされるとき，a の値を求めよ．
“ a は ’ で求めた値とする．自然数 n に対して，点 Rn を次のように定める．
² R1 の座標を (4; 5) とする．
² A によって Rn¡1 が移される先を Rn (n = 2) とする．
Rn の座標を (xn ; yn ) とするとき，xn =
12
16
¡ 2; yn = n ¡ 3 であることを数学的帰
2n
2
納法を用いて証明せよ．
（九州工業大学 2011 ）
11 正の実数 a と関数 f(x) = jx2 ¡ a2 j (¡2a 5 x 5 2a) がある．y = f(x) のグラフを y
軸のまわりに回転させてできる形の容器に ¼a2 (cm3 = 秒) の割合で水を静かに注ぐ．水を
注ぎ始めてから容器がいっぱいになるまでの時間を T(秒) とする．ただし，長さの単位は
cm とする．次の問いに答えよ．
(1) y = f(x) のグラフの概形を描け．
(2) 水面の高さが a2 (cm) になったとき，容器中の水の体積を V(cm3 ) とする．V を a を用い
て表せ．
(3) T を a を用いて表せ．
(4) 水を注ぎ始めてから t 秒後の水面の高さを h (cm) とする．h を a と t を用いて表せ．た
だし，0 < t < T とする．
(5) 水を注ぎ始めてから t 秒後の水面の上昇速度を v (cm/秒) とする．v を a と t を用いて表
せ．ただし，0 < t < T とする．
（九州工業大学 2011 ）
12 図のような番号のついたマス目と駒とサイコロを使って，以下に示す規則にしたがうゲー
ムを考える．
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
² 駒は最初 0 番のマス目に置く．
² サイコロを投げ，出た目の数だけ駒を 10 番のマス目に向かって進める．
² 駒がちょうど 10 番のマス目に止まればゴールとする．
² ただし，10 番のマス目を超える場合は，その分だけ 10 番のマス目から 0 番のマス目側に
戻る．
たとえば，7 番のマス目に駒があり，出た目が 5 であった場合は，駒は 8 番のマス目に移
動し，その次に出た目が 2 であった場合はゴールする．以下の問いに答えよ．
(1) 2 投目でゴールする確率を求めよ．
(2) 2 投目の後，9 番のマス目に駒がある確率を求めよ．
(3) 3 投目でゴールする確率を求めよ．
(4) このゲームを使って A，B の 2 名が対戦する．A から始めて，交互にサイコロを投げて各
自の駒を進める試行を行ない，先にゴールした方を勝ちとする．ただし，どちらも 2 投以
内でゴールしない場合は引き分けとする．引き分ける確率を求めよ．
(5) A，B の駒をそれぞれ 0 番，k 番 (0 < k < 10) のマス目に置いて (4) と同様の対戦を開始
するとき，A が勝つ確率より B が勝つ確率の方が高くなるための k の条件を求めよ．
（九州工業大学 2011 ）

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