1
正方形 ABCD を底面，点 P を頂点とする正四角
3
a を 0 < a < 1 を満たす実数として x の関数
錐 PABCD に内接する球について考える．ただ
f(x) = ax ¡ log(1 + ex ) の最大値を M(a) と
し ，正四角錐とは，頂点と底面の正方形の中心
するとき，次の問いに答えよ．ただし 必要があ
を結ぶ直線が底面と垂直になる角錐である．線
れば
分 AB の中点を M とし ，線分 AM および線分
lim x log x = 0
x!+0
PM の長さをそれぞれ a; b とする．次の問に答
えよ．
が成り立つことを用いてよい．
(1) 内接する球の半径を a; b を用いて表せ．
(1) M(a) を a を用いて表せ．
内接する球の表面積
b
と定めるとき，
(2) x =
a
正四角錐 PABCD の表面積 (2) a の関数 y = M(a) の最小値とそのときの a
を x で表わし，その最大値を求めよ．
の値を求めよ．
(3) (2) で最大値をとるときの正四角錐 PABCD の
(3) a の関数 y = M(a) のグラフをかけ．
体積を a を用いて表せ．
（ 新潟大学 2016 ）
（ 早稲田大学 2016 ）
4
a を正の定数とする．2 つの曲線 C1 : y =
x log x と C2 : y = ax2 の両方に接する直線
(log x)2
の本数を求めよ．ただし ， lim
=0
x
x!1
は証明なしに用いてよい．
2
（ 横浜国立大学 2016 ）
B
a; b を実数とする．f(x) = 2 1 + x2 ¡ ax2 と
し，x についての方程式 f(x) = b を考える．次
の問いに答えよ．
(1) a > 0 のとき，関数 f(x) の最大値を求めよ．
(2) 方程式 f(x) = b の異なる実数解の個数が最も
多くなるときの点 (a; b) の範囲を図示せよ．
（ 金沢大学 2016 ）
5
曲線 C : x4 ¡ 2xy + y2 = 0 に関して，以下の
問いに答えよ．
(1) C 上の点 (x; y) に対して，y を x の式で表し，
x の値の取り得る範囲を求めよ．
(2) C 上の点で，x 座標が最大となる点と，y 座標
が最大となる点をそれぞれ求めよ．
(3) C で囲まれた図形の面積を求めよ．
（ 鳥取大学 2016 ）
6
a < 0，b を実数とする．楕円 C : x2 + 4y2 = 4
と直線 ` : y = ax + b が異なる 2 個の共有点
P(x1 ; y1 )，Q(x2 ; y2 ) (x1 < x2 ) を持つとし，
` に平行な直線 m が第 1 象限の点 A において C
と接しているとする．次に答えよ．
(1) b の値の範囲を a を用いて表せ．
(2) 直線 m の方程式を a を用いて表せ．
(3) x2 ¡ x1 を a; b を用いて表せ．
(4) 三角形 APQ の面積 S を a; b を用いて表せ．
9
次の条件によって定められる関数 fn (x) (n =
1; 2; 3; Ý) を考える．
fn+1 (x) = fn 0 (x)
f1 (x) = (3x+5)e2x ;
(1) f2 (x) = (
x + イウ )e2x である．
ア
(2) fn (x) = (an x + bn )e2x（ an ; bn は定数）とお
くと，
a1 =
;
エ
b1 =
V
;
オ
(5) b が (1) で求めた範囲を動くとき，(4) で求め
(3) an =
（ 九州工業大学 2016 ）
C1 : y = (x ¡ 1)e ;
ク
an
bn+1 = an +
キ
1 2
x +a
C2 : y =
2e
1)et ) における
C1 の接線が C2
n¡1
ケ
¢
n¡2
n+
シ
て，cn =
ソ
=
cn +
(n = 1; 2; 3; Ý) である．よっ
サ
ス
セ
(
タ
n +
，つまり bn =
チ
)
(n
=
1; 2; 3; Ý) である．ゆえに
に接するとする．
fn (x) =
ツ
n¡2
(
テ
x+
ト
n+
ナ
)e2x
(1) a を t で表せ．
(2) t が実数全体を動くとき，a の極小値，および
そのときの t の値を求めよ．
（ 北海道大学 2015 ）
8
4ABC の 3 辺の長さを BC = a，AC = b，
AB = c とし，条件
a + b + c = 1;
bn
(n = 1; 2; 3; Ý)
bn
と お くと ，cn+1
2n
=
コ
がある．ただし ，e は自然対数の底である．C1
上の点 (t; (t ¡
カ
である．
(4) cn
a は実数とし，2 つの曲線
x
an+1 =
である．
た S の最大値を求めよ．
7
(n = 1; 2; 3;
9ab = 1
が成り立つとする．以下の問いに答えよ．
(1) a の値の範囲を求めよ．
(2) µ = ÎC とするとき，cos µ の値の範囲を求
めよ．
（ 熊本大学 2015 ）
である．
（ 金沢工業大学 2015 ）
(n =

(1) 0 ≦ x ≦ 1 Z 1

生徒会だより第31号