¨Ubungsblatt 10

Übungsblatt 10
Harmonische Analysis, SoSe 2016
Prof. Dr. Jürgen Saal, Dr. Matthias Köhne
Abgabe: KW 27 in der Übung
Hausübungen – 2 + 2 + 2 + 2 Punkte
Aufgabe 24: (Durchschnitte und Summen)
Sei F ∈ { R, C } und seien X0 und X1 normierte Räume über F, so dass X0 ⊆ X1 und k · k1 ≤ Ck · k0 auf X0
gilt mit einer Konstanten C > 0. Man zeige, dass
kxk∆ ≤ C 0 kxk0 ,
x ∈ X0
und
kxk1 ≤ C 0 kxkΣ ,
x ∈ X1 ,
wobei C 0 = max { 1, C }.
Aufgabe 25: (Der Raum L(X0 , Y0 | X1 , Y1 ))
Sei F ∈ { R, C } und seien X0 und X1 kompatible normierte Räume über F. Man zeige:
a) Das Funktional
n
o
kT kL(X0 ,Y0 |X1 ,Y1 ) := max kT kL(X0 ,Y0 ) , kT kL(X1 ,Y1 ) ,
T ∈ L(X0 , Y0 | X1 , Y1 )
definiert eine Norm auf dem Raum L(X0 , Y0 | X1 , Y1 ) aller F-linearen Operatoren T : X0 + X1 −→ Y0 + Y1 ,
für die Rj T ∈ L(Xj , Yj ) für j = 0, 1 gilt. (Wie in Bemerkung 8.11 c) gezeigt ist L(X0 , Y0 | X1 , Y1 ) mit dieser
Norm vollständig, falls Y0 und Y1 vollständig sind.)
b) Sind die normierten Räume X und Y Interpolationsräume in Bezug auf (X0 , X1 ) und (Y0 , Y1 ), so definiert
das Funktional
n
o
kT k∗L(X0 ,Y0 |X1 ,Y1 ) := max kT kL(X0 ,Y0 ) , kT kL(X1 ,Y1 ) , kT kL(X,Y ) ,
T ∈ L(X0 , Y0 | X1 , Y1 )
ebenfalls eine Norm auf L(X0 , Y0 | X1 , Y1 ). Weiterhin ist L(X0 , Y0 | X1 , Y1 ) ausgestattet mit k · k∗L(X0 ,Y0 |X1 ,Y1 )
vollständig, falls Y0 , Y1 und Y vollständig sind.
Aufgabe 26: (hX0 , X1 i∆ als exakter Interpolationsraum)
Seien F ∈ { R, C } und X0 , X1 sowie Y0 , Y1 jeweils kompatible normierte lineare Räume über F. Dann sind
X := hX0 , X1 i∆ und Y := hY0 , Y1 i∆ Interpolationsräume in Bezug auf (X0 , X1 ) und (Y0 , Y1 ) und es gilt
kT kL(X,Y ) ≤ kT kL(X0 ,Y0 |X1 ,Y1 ) ,
T ∈ L(X0 , Y0 | X1 , Y1 ),
d. h. X und Y sind exakte Interpolationsräume.
Aufgabe 27: (Kompatible Operatoren)
Seien F ∈ { R, C } und X0 , X1 sowie Y0 , Y1 jeweils kompatible normierte lineare Räume über F. Zu zwei
Operatoren Tj ∈ L(Xj , Yj ) für j = 0, 1 mit RX0 ∩X1 T0 = RX0 ∩X1 T1 gibt es genau ein T ∈ L(X0 , Y0 | X1 , Y1 )
mit Rj T = Tj für j = 0, 1.

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