Blatt 10

PD Dr. T. Timmermann
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Grundlagen der Analysis, Topologie und Geometrie
Übungsblatt 10
Abgabe bis Fr, 23.6., 8:15 Uhr
Aufgabe 1. Zeigen Sie, dass jede stetige Abbildung f : RP2 → S 1 homotop zu einer
konstanten Abbildung ist. (Hinweis: Besitzt f eine Hochhebung f˜: RP2 → R?)
Aufgabe 2. Sei g : RP2 → RP2 stetig. Bezeichne q : S 2 → RP2 die Quotientenabbildung. Zeigen Sie:
(a) Es gibt eine Abbildung h : S 2 → S 2 mit q ◦ h = g ◦ q.
(b) Ist g∗ (π1 (RP2 , x)) nicht trivial (also nicht ein-elementig) für ein x ∈ X, so auch
nicht-trivial für jedes x ∈ X.
(c) Unter der Annahme in (b) gilt h(−y) = −h(y) für alle y ∈ S 2 .
(Hinweis: Benutzen Sie, dass S 2 einfach zusammenhängend ist.)
Aufgabe 3.
Sei X = (S 1 − 1) ∪ (S 1 + 1) ⊂ C die Acht,
Y = R ∪ {z + 2πk + i : k ∈ Z, z ∈ S 1 } ⊂ C
und u(t) = 1 − e2πit , v(t) = e2πit − 1.
(a) Geben Sie (per Formel) eine Überlagerung p : Y → X mit [u] ∈ p∗ (π1 (Y, 0)) an.
(b) Bestimmen Sie alle Decktransformationen von p.
(c) Zeigen Sie, dass p∗ (π1 (Y, 0)) ⊆ π1 (X, 0) die Menge aller Wörter
w = x1 . . . xn
mit xi ∈ {u, u−1 , v, v −1 }
ist, die u und u−1 gleich oft enthalten, für die also
|w|u = 0,
wobei |w|u := |{i : xi = u}| − |{j : xj = u−1 }|.
(d) Beschreiben Sie den Isomorphismus π1 (X, 0)/p∗ (π1 (Y, 0)) → ∆(p). Achten Sie
dabei auf Vorzeichen.
Aufgabe 4. Seien X, u und v wie in Aufgabe 3. Bestimmen Sie alle Decktransformationen ∆(p) und p∗ (π1 (Y, y0 )) ⊆ π1 (X, 0) für folgende Überlagerungen:
(a) Y = (R × Z) ∪ (Z × R) ⊆ R2 mit y0 = (0, 0) und p(x, y) = e2πiy − e2πix ;
(b) Y = S 1 ∪ (S 1 − 2) ∪ (S 1 + 2) ⊆ C mit y0 = 1 und
p(z − 2) = z − 1,
p(z) = 1 − z 2 ,
1
p(2 + z) = −1 − z
für alle z ∈ S 1 .

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