Blatt 10

Übungsblatt 10
Lineare Algebra I, SoSe 2016
Dr. Matthias Köhne, Dr. Benno Kuckuck
Ausgabe: Di., 14.06.2016, Abgabe: Di., 21.06.2016
Aufgabe 40: (Lineare Abbildungen, Matrizen, Dimension)
[8 Punkte]
Seien F ein Körper und X, Y zwei F -lineare Räume mit dimF X = n ∈ N und dimF Y = m ∈ N. Zeigen Sie:
(a) Es gibt genau dann eine injektive F -lineare Abbildung f : X −→ Y , wenn n ≤ m.
(b) Es gibt genau dann eine surjektive F -lineare Abbildung f : X −→ Y , wenn n ≥ m.
(c) Es gibt genau dann eine Matrix A ∈ Fnm mit def A = 0, wenn n ≤ m.
(d) Es gibt genau dann eine Matrix A ∈ Fnm mit rnk A = m, wenn n ≥ m.
Hinweis: Beachten Sie Proposition 2.2.3 aus der Vorlesung und, dass x 7→ Ax : F n −→ F m für A ∈ Fnm eine
F -lineare Abbildung ist.
Aufgabe 41: (Darstellung linearer Abbildungen)
Seien F = R, X = R3 und Y = R2 . Weiterhin seien durch
  
 

1
1
1 



  
 

BX :=  0  ,  0  ,  −1  ,




0
−1
−1
[14 Punkte]
(
BY :=
1
0
!
,
1
!)
−1
eine Basis BX von X und eine Basis BY von Y vorgegeben. Seien f : X −→ X und g : X −→ Y gegeben als
 
x
 
gy =

  
y
x

  
f  y  = x − z ,
z
2x − 2y
x+y
z
x+z
!
,
x, y, z ∈ F.
Berechnen Sie die Darstellungsmatrizen A = M (f, BX , BX ) und B = M (g, BX , BY ). Berechnen Sie weiterhin
BA und zeigen Sie, dass BA = M (g ◦ f, BX , BY ).
Aufgabe 42: (Kern und Bild von Matrizen)
Betrachten Sie die Matrix

[12 Punkte]
1 −3

2
A= 0
−1
0


1  ∈ R33
1 −1
und bestimmen Sie den Kern N (A), das Bild R(A), den Defekt def A und den Rang rnk A. Ist A invertierbar?
Aufgabe 43: (Duale Abbildungen)
[6 Punkte]
Seien F ein Körper und X, Y zwei F -lineare Räume. Zeigen Sie, dass eine F -lineare Abbildung f : X −→ Y
genau dann surjektiv ist, wenn die duale Abbildung f ∗ : Y ∗ −→ X ∗ injektiv ist.
Beachten Sie den Beweis in Proposition 2.2.10 (a) und verwenden Sie Proposition 2.2.8 (b).

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