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Übungen zur Vorlesung Elementargeometrie“
”
SS 2016
A. Rincón, A. Schmitt
Übungsblatt 7
Abgabe: Bis Dienstag, den 14.06.2016, 14Uhr
Aufgabe 1 (Die Zwischenrelation; 8 Punkte).
Es sei (E, G, d) ein Tupel, das aus einer Inzidenzgeometrie (E, G) und einer Distanzfunktion d : E × E −→ R besteht. Die Axiome von der Längenmessung und der Zerlegung in Halbebenen seien erfüllt. Weiter seien A, B,C, O ∈ E Punkte, so dass A, B und
C kollinear sind und O nicht auf der Geraden durch A, B und C liegt.
Zeigen Sie, dass die Zwischenrelation A ∗ B ∗ C genau dann erfüllt ist, wenn A und C
←
→
auf verschiedenen Seiten der Geraden OB liegen.
Aufgabe 2 (Ecken von Dreiecken; 8 Punkte).
Es sei (E, G, d) ein Tripel, in dem (E, G) eine Inzidenzgeometrie ist und d : E × E −→
R eine Distanzfunktion, für die die Axiome von der Längenmessung und der Zerlegung
in Halbebenen erfüllt sind.
Es seien A, B,C ∈ E drei nicht kollineare Punkte und △ = △ABC das durch diese
Punkte definierte Dreieck. Beweisen Sie, dass A, B und C die Extremalpunkte von △
sind.
Aufgabe 3 (Kongruenz; 8 Punkte).
Die Situation sei wie in Aufgabe 2, und w : W −→ [0, π ] sei ein Winkelmaß, das dem
Axiom von der Winkelmessung genügt.
Beweisen Sie, dass Kongruenz auf Dreiecken eine Äquivalenzrelation ist.
Aufgabe 4 (Kongruenzsätze; 8+8 Punkte).
In der Situation von Aufgabe 3 gelte zusätzlich Axiom (SWS). Formulieren und beweisen Sie die folgenden Kongruenzsätze:
a) SSS,
b) WWS.
Zusatzaufgabe 1 (Kongruenzsätze; 15 Bonusunkte).
Geben Sie ein Gegenbeispiel zum Kongruenzsatz“ WSS an. Wie kann man die Aus”
sage modifizieren, um einen gültigen Kongruenzsatz zu erhalten?

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