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Übungen zur Vorlesung Elementargeometrie“
”
SS 2016
A. Rincón, A. Schmitt
Übungsblatt 6
Abgabe: Bis Dienstag, den 07.06.2016, 14Uhr
Aufgabe 1 (Konvexe Mengen; 6×2 Punkte).
Es sei (E, G, d) ein Tupel, das aus einer Inzidenzgeometrie (E, G) und einer Abstandsfunktion d: E × E −→ R besteht. Das Axiom von der Längenmessung sei erfüllt.
Welche der folgenden Mengen sind konvex? (Die Antworten sind ausführlich zu begründen.)
a) Geraden,
b) Strecken,
c) Strahlen,
d) offene bzw. abgeschlossene Halbebenen,
e) Kreise,
f) Winkel.
Aufgabe 2 (Extremalpunkte; 3×3 Punkte + 10 Bonuspunkte).
Es gelten dieselben Voraussetzungen wie in Aufgabe 1. Es sei X ⊂ E eine Teilmenge.
Ein Punkt P ∈ X heisst Extremalpunkt, wenn ¬(A ∗ P ∗ B) für alle A, B ∈ X gilt.
a) Bestimmen Sie für die folgenden Mengen die Extremalpunkte.
i) Strecken,
ii) Strahlen,
iii) Winkel.
b) Untersuchen Sie Extremalpunkte für Kreise in den Geometrien (R2 , G, e) und (R2 ,
G, d1 ). (Dabei seien G die Menge der Geraden in R2 wie in der Vorlesung definiert
und d1 bzw. e wie auf Blatt 5, Aufgabe 2 bzw. 3.)
Aufgabe 3 (Das Winkelmaß I; 4+5 Punkte).
Es sei (E, G, d) ein Tripel, in dem (E, G) eine Inzidenzgeometrie ist und d: E ×E −→ R
eine Distanzfunktion, für die das Axiom von der Längenmessung erfüllt ist. Weiter sei
w: W −→ [0, π ] ein Winkelmaß.
a) Beweisen Sie, dass es zu jedem Strahl S ⊂ E und jedem Punkt P ∈ E \g(S) höchstens
eine Koordinatenfunktion
ϕ : HR(S, P) −→ [0, π ]
gibt.
b) Für w gelte das Axiom der Winkelmessung. Es seien S, S− zwei entgegengesetzte
Strahlen, P ∈ E \ g(S) = E \ g(S−) sowie ϕ : HR(S, P) −→ R und ϕ− : HR(S− , P) −→ R
die zugehörigen Koordinatenfunktionen. Wie berechnet man ϕ− aus ϕ ? (Beachten Sie,
dass HR(S, P) = HR(S− , P).)
Aufgabe 4 (Das Winkelmaß II; 10 Punkte).
Es sei G die Menge der Geraden in R2 wie in der Vorlesung definiert. Die Distanzfunktionen e, d1 und d2 seien wie auf Blatt 5, Aufgabe 2 und 3, definiert. In der Vorlesung
oder Zentralübung wird gezeigt, dass es für die euklidische Ebene“ (R2 , G, e) ein
”
Winkelmaß
w: W −→ [0, π ]
gibt, dass das Axiom von der Winkelmessung erfüllt. Folgern Sie, dass dies auch für
die Geometrien (R2 , G, d1 ) und (R2 , G, d2) gilt.

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