Analysis 2 - Universität Leipzig

Universität Leipzig
16.05.2016
Analysis 2
Sommersemester 2016
Aufgaben, Blatt Nr. 6
Abgabe: Dienstag, 24.05.2016 vor der Vorlesung, bitte Namen,
Matrikelnummer und Übungsgruppenzeit angeben!
6-1 Sei A eine reelle n × n–Matrix. Bestimmen Sie alle stetig differenzierbaren Funktionen f : Rn → Rn , für die dfx = A für alle x ∈ Rn gilt.
6-2 (a) Zeigen Sie, dass die Funktion f : R2 − {0} −→ R, f (x) = log (kxk)
die Gleichung ∆f = 0 erfüllt.
(b) Zeigen Sie, dass die Funktion f : R3 − {0} −→ R, f (x) = 1/kxk
die Gleichung ∆f = 0 erfüllt.
Hierbei ist ∆ der Laplace-Operator.
6-3 Zeigen Sie: Die Funktion F : Rn × R −→ R mit
n
(x, t) ∈ R × R 7−→ F (x, t) =
1
tn/2
kxk2
exp −
4t
ist eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung
∆F −
wobei ∆F =
∂2F
i=1 ∂x2i
Pn
∂F
= 0,
∂t
.
6-4 Gegeben ist die Funktion f : R2 −→ R mit

2
2
; (x, y) 6= (0, 0)
 xy xx2 −y
+y 2
f (x, y) =
.

0
; (x, y) = (0, 0)
Zeigen Sie, dass f zweimal partiell differenzierbar ist, dass aber
∂1 ∂2 f (0, 0) 6= ∂2 ∂1 f (0, 0).
Hinweis: Zeigen Sie, dass h = ∂1 f (0, h) = −∂2 f (h, 0) und berechnen
Sie ∂1 ∂2 f (0, 0) bzw. ∂2 ∂1 f (0, 0) mit Hilfe des Differenzenquotienten.
Prof. Dr. Hans-Bert Rademacher
www.math.uni-leipzig.de/~rademacher/Analysis2.html

Download Report