Blatt 4 - Userpage

Übungen zur Vorlesung Elementargeometrie“
”
SS 2016
A. Rincón, A. Schmitt
Übungsblatt 4
Abgabe: Bis Dienstag, den 24.05.2016, 14Uhr
Aufgabe 1 (Parallelität; 3+5 Punkte).
Es sei (E, G) eine Inzidenzgeometrie.
a) In (E, G) gelte das hyperbolische Parallelenaxiom. Ist k“ (Parallelität) eine Äqui”
valenzrelation?
b) Finden Sie eine Aussage der Form Zu jeder Geraden g ∈ G und jedem Punkt x ∈ E
”
gibt es ... zu g parallele Gerade(n) durch x.“, die äquivalent dazu ist, dass k“ eine
”
Äquivalenzrelation ist. (Die Äquivalenz müssen Sie natürlich beweisen.)
Aufgabe 2 (Endliche Inzidenzgeometrien; 4 Punkte).
Beweisen Sie die folgende Aussage aus der Vorlesung: Es seien (E, G) eine endliche
Inzidenzgeometrie, in der das euklidische Parallelenaxiom erfüllt ist. Es seien g1 ∈ G
eine Gerade, x1 ∈ g1 ein Punkt auf dieser Geraden und h ∈ G eine Gerade mit h ∩
g1 = {x1 }. Es sei n = #h. Man schreibe h = { x1 , ..., xn } und definiere gi als die zu g1
parallele Gerade durch xi , i = 1, ..., n. Dann gilt:
E=
n
G
gi .
i=1
Aufgabe 3 (Der Ternärkörper; 5+7+5+3+8 Punkte).
Es sei (E, G) eine Inzidenzgeometrie, in der das euklidische Parallelenaxiom gilt. Es
seien o, e1 , e2 drei nicht kollineare Punkte in E, K die Gerade durch o und e1 und
κ : E −→ K ×K die in der Vorlesung erklärte Bijektion, die E mit Koordinaten versieht.
Nun sei ein Tupel (a, x2 , x1 ) ∈ K × K × K gegeben. Man setze y := κ −1 (x1 , x2 ),1 d.h.,
y ist der Punkt mit den Koordinaten (x1 , x2 ). Weiter sei g die Gerade durch e2 und a.
Schließlich definieren wir h als die Gerade, die parallel zu g ist und durch y verläuft.
Es sei t der Schnittpunkt von h und K. Damit erklären wir
T (a, x2, x1 ) := t.
a) Fertigen Sie eine Skizze zur obigen Konstruktion an und erklären Sie, wieso t existiert.
1 Man
beachte die Reihenfolge.
b) Es seien a, d ∈ K. Dazu definieren wir die Menge
ga,d := y ∈ E | ∃(x1 , x2 ) ∈ K × K : y = κ −1 (x1 , x2 ) ∧ T (a, x2 , x1 ) = d .
Für c ∈ K setzen wir
gc := y ∈ E | ∃(x1 , x2 ) ∈ K × K : y = κ −1 (x1 , x2 ) ∧ x2 = c .
Weisen Sie nach, dass ga,d bzw. gc eine Gerade ist. Beweisen Sie umgekehrt, dass jede
Gerade g ∈ G entweder von der Form ga,d für eindeutig bestimmte Elemente a, d ∈ K
oder von der Form gc für ein eindeutig bestimmtes Element c ∈ K ist.
c) Es seien a1 , a2 , d1 , d2 ∈ K. Zeigen Sie, dass die Geraden ga1 ,d1 und ga2 ,d2 genau dann
parallel sind, wenn a1 = a2 .
d) Überprüfen Sie, dass die Ternärverknüpfung
T : K × K × K −→ K
(a, b, c) 7−→ T (a, b, c)
folgende Eigenschaften hat:
1. Es gibt voneinander verschiedene Elemente 0, 1 ∈ K, so dass für alle a, b, c ∈ K
die Gleichungen
T (0, b, c) = c = T (a, 0, c),
T (a, 1, 0) = a,
T (1, b, 0) = b
erfüllt sind.
2. Für Elemente a, b, d ∈ K existiert genau ein Element x ∈ K mit T (a, b, x) = d.
3. Es seien a1 , a2 , d1 , d2 ∈ K, so dass a1 6= a2 . Dann gibt es genau ein Paar (x1 , x2 ) ∈
K × K mit T (a1 , x2 , x1 ) = d1 und T (a2 , x2 , x1 ) = d2 .
4. Es seien (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ K × K Paare, so dass x2 6= y2 . Dann gibt es genau ein
Element a ∈ K mit T (a, x2 , x1 ) = T (a, y2, y1 ).
Man nennt (K, T ) einen Ternärkörper.
e) Untersuchen Sie die Ternärverknüpfung auf R2 bzgl. der Standardkoordinaten.

Download Report