Serie 10

Analysis II – Sommer 2016
Prof. Dr. George Marinescu
Dr. Frank Lapp / M.Sc. Hendrik Herrmann
Serie 10 – Abgabe in der Woche: 4. - 6.7. (in den Übungen)
Aufgabe 1
Sei U ⊂ n offen. Der Laplace-Operator ∆ : C 2 (U,
R
4 Punkte
R) → C 0(U, R) ist definiert durch
∆f := ∂11 f + . . . + ∂nn f.
R R
R
R
R
Sei f ∈ C 2 ( 2 , ) und P : + × 3 (r, ϕ) 7→ (r cos ϕ, r sin ϕ) ∈ 2 die Polarkoordinatenabbildung. Zeigen Sie, dass mit F := f ◦ P ∈ C 2 ( + × , ) gilt:
2
1 ∂2
1 ∂
∂
F+ 2·
F+ ·
F (r, ϕ) = (∆f ) (P (r, ϕ)).
∂r2
r ∂ϕ2
r ∂r
R
RR
Aufgabe 2
4 Punkte
k
Sei k ∈ . Wir betrachten die Abbildung 3 z 7→ z ∈ sowie die zugehörige Abbildung
f : 2 → 2 , die sich daraus nach der üblichen Identifikation von mit 2 ergibt. f ist
ein 2 –wertiges Polynom, und somit ist insbesondere f ∈ C ∞ ( 2 , 2 ).
R
R
N
C
R
C
C R
R R
(a) Sei P die Polarkoordinatenabbildung und F := f ◦ P . Berechnen Sie F (r, φ).
(b) Zeigen Sie ∆fi = 0 für i = 1, 2.
Hinweis: Benutzen Sie Aufgabe 1 und Vorsicht: P ist nicht surjektiv.
Aufgabe 3
4 Punkte
y
Berechnen Sie für f : + × 3 (x, y) 7→ x ∈ alle partiellen Ableitungen ∂j1 j2 j3 f (x, y)
dritter Ordnung. Stellen Sie dann das Taylorpolynom dritten Grades zu f mit Entwicklungspunkt (1, 1) auf.
R
R
R
Bitte wenden!
1
Zusatzaufgabe
+4 Punkte
Sei D ⊂ n eine offene Menge. Eine Abbildung F = (F1 , . . . , Fn ) : D → n heißt
Vektorfeld. Für ein differenzierbares Vektorfeld F heißt die Funktion
R
R
divF :=
n
X
∂Fi
i=1
∂xi
Divergenz des Vektorfeldes F .
a) Sei u : D →
R differenzierbar. Zeigen Sie, dass
div(uF ) = hgrad u, F i + u divF .
b) Berechnen Sie
div
c) Seien f, g : D →
x
kxk2
für alle x ∈
Rn \ {0}.
R zweimal stetig differenzierbar. Zeigen Sie:
∆f = div grad f
und
∆(f g) = f ∆g + g∆f + 2hgrad f, grad gi.
d) Sei h :
R+ → R zweimal stetig differenzierbar. Zeigen Sie, dass
∆h(kxk2 ) = h00 (kxk2 ) +
n−1 0
h (kxk2 )
kxk2
2
für alle x ∈
Rn \ {0}.

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