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Universität Stuttgart
Institut für Analysis, Dynamik
und Modellierung
Prof. Guido Schneider
Pfaffenwaldring 57
D–70569 Stuttgart
Funktionalanalysis 2
Vorlesung im Sommersemester 2016
Übungsblatt 5
Aufgabe 5.1: Betrachten Sie eine stetige Funktion f : [0, 1] → X mit Werten in einem
Banachraum X. Zeigen Sie, dass f Riemann-integrierbar ist.
Aufgabe 5.2: Betrachten Sie die Stokes-Gleichungen
∂t u = ∆u − ∇ρ,
∇·u=0
für x ∈ R3 , t ≥ 0, u(x, t) ∈ R3 und p(x, t) ∈ R mit 2π-periodischen Randbedingungen.
Zeigen Sie die Resolventenabschätzung
kukX ≤
1
kf kX
λ
für u ∈ X = {u ∈ (L2per )3 : ∇ · u = 0}, f ∈ X und λ > 0 mittels Energieabschätzungen.
Aufgabe 5.3: Betrachten Sie die NLS Gleichung
i∂t u = ∆u + V u + u |u|2
mit x ∈ Rd , t ∈ R, u(x, t) ∈ C und V ∈ C0∞ (Rd , R). Zeigen Sie lokale Existenz und
Eindeutigkeit in H s (Rd , C) für s > d2 .
Übungen am Freitag, den 27. Mai 2016
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