Übungsblatt Nr. 2 - IADM

R
Adµ
Universität Stuttgart
Institut für Analysis, Dynamik
und Modellierung
Prof. Guido Schneider
Pfaffenwaldring 57
D–70569 Stuttgart
Funktionalanalysis 2
Vorlesung im Sommersemester 2016
Übungsblatt 2
Aufgabe 2.1: Betrachten Sie die Diffusionsgleichung ∂t u = ∂x2 u, mit x ∈ [0, 2π] , t ≥ 0,
u(x, t) ∈ R und 2π-periodischen Randbedingungen. Im Fourierraum ist die Lösungs2
halbgruppe (T̂ (t))t≥0 durch (T̂ (t)û)k = e−k t ûk gegeben. Zeigen Sie, dass T̂ (t) in ℓ2
stark stetig ist. Was gilt damit im x-Raum?
Aufgabe 2.2: Die Translationshalbgruppe mit 2π-periodischen Randbedingungen ist im Fourierraum durch (T (t)û)k = eikt ûk gegeben. Ist diese in ℓ∞ stark stetig?
Aufgabe 2.3: Zeigen Sie für den Generator der Translationshalbgruppe mit 2π-periodischen
Randbedingungen die Resolventenabschätzung kR(λ, A)kL2 →L2 ≤ λ1 für λ > 0.
Aufgabe 2.4: Betrachten Sie die Matrizen J2 =
!
0 1
und
0 0

0 1
0
 .. . . . .
.
.
.
Jn = 
 ..
.
..
.
0 ... ...

0

0
.

1
0
Bestimmen Sie eJ2 t und eJn t und schätzen Sie keJ2 t k und keJn t k durch ewt ab. Versuchen
Sie, die entsprechende Resolventenabschätzung zu erhalten.
Aufgabe 2.5: Seien T (t) und S(t) C 0 -Halbgruppen mit Generatoren A und B. Zeigen Sie:
Ist A = B, so ist T (t) = S(t).
Hinweis: Betrachten Sie die Abbildung s 7→ T (t − s)S(s)x.
Übungen am Freitag, den 29. April 2016

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