Angabe

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Aufgabe 4
Charakteristische Funktion
(13 Punkte)
Gegeben seien zwei stochastisch unabhängige Zufallsvariablen X1 , X2 ∈ R . Dabei seien X1
und X2 jeweils gleichverteilt auf dem Intervall [− 21 , 12 ]. Es gelte fX1 (x) = fX2 (x) = fX (x).
a)* Skizzieren Sie fX (x) maßstabsgetreu in Bild 3 für |x| <
Unstetigkeitsstellen.
3
2
und kennzeichnen Sie die
fX (x)
1
−1
1
x
Bild 3: Lösung von Aufgabe a).
b)* Wie lautet die charakteristische Funktion ϕX (ω)? Vereinfachen Sie soweit wie möglich.
Hinweis: ejφ = cos φ + j sin φ
Name: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrikel-Nr.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Nun sei Y = X1 + X2 .
c)* Bestimmen Sie ϕY (ω) in Abhängigkeit von ϕX (ω).
d)* Welcher mathematische Zusammenhang (Formel) besteht im Allgemeinen für diesen
Spezialfall zwischen fX (x) und fY (y). Wie nennt man diese Operation?
e) Skizzieren Sie fY (y) in Bild 4.
fY (y)
1
−1
1
Bild 4: Lösung von Aufgabe e).
f)
Bestimmen Sie die Formel für fY (y) aus Ihrer graphischen Lösung zu e).
y
Name: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgabe 4
Matrikel-Nr.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erwartungswert und charakteristische Funktion
(9 Punkte)
Gegeben sei die reelle Zufallsvariable x mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
�
pλeλx für x ≤ 0,
fx (x) =
qλe−λx für x > 0,
mit 0 ≤ p ≤ 1 und q ≥ 0.
a)* Bestimmen Sie den Wert von q in Abhängigkeit von p.
b)* Berechnen Sie die charakteristische Funktion Φx (ω) der Zufallsvariablen x.
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c) Bestimmen Sie mit Hilfe der charakteristischen Funktion den Erwartungswert von x.

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