Lineare Algebra I ¨Ubungszettel 8 30. November 2015

Wintersemester 2015/16
Fakultät für Mathematik und Informatik
Universität Leipzig
Prof. Dr. T. Finis
Dr. J. Matz
Lineare Algebra I
Übungszettel 8
30. November 2015
Abgabe: 7. Dezember 2015 bis 11:15 Uhr in den Briefkästen in A 5141
Aufgabe 33 (2 Punkte). Es sei K ein Körper und n ∈ N. Für a ∈ K definiere man
Va = {(x1 , . . . , xn ) ∈ K n | x1 + . . . + xn = a} ⊆ K n .
Man zeige: Va ist ein Untervektorraum von K n genau dann, wenn a = 0.
Aufgabe 34 (2 Punkte). Man zeige, dass zwei Vektoren (a, b), (c, d) ∈ R2 linear unabhängig
sind in R2 , genau dann, wenn ad − bc 6= 0.
Aufgabe 35 (1+1+1+1 Punkte). Man betrachte die folgenden Mengen an Vektoren im R3 :
(i) {(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)}
(ii) {(1, 1, 1), (3, 2, 7), (5, 9, 0)}
(iii) {(5, 1, 3), (0, 0, 1)}
(iv) {(0, 2, 0), (4, 6, 3), (8, 4, 6)}
Man beweise oder widerlege, dass diese Mengen linear unabhängig über R sind.
Aufgabe 36 (2+1+2 Punkte). Eine Abbildung f : R −→ R heißt gerade, falls f (−x) = f (x)
für alle x ∈ R, und ungerade, falls f (−x) = −f (x) für alle x ∈ R. Es bezeichne V + die Menge
aller geraden, und V − die Menge aller ungeraden Abbildungen f : R −→ R. Es sei V = RR
die Menge aller Abbildungen von R nach R. Man zeige:
(i) V + und V − sind jeweils R-Vektorräume.
(ii) V + ∩ V − = {0}.
(iii) V + + V − = V .
Aufgabe 37 (3 Punkte). Es sei F3 = Z/3Z der Körper mit drei Elementen. Man definiere
auf F43 die Verknüpfung ∗ wie folgt: Für a = (a1 , a2 , a3 , a4 ), b = (b1 , b2 , b3 , b4 ) ∈ F43 sei
a ∗ b = a + b − (0, 0, 0, (a3 − b3 )(a1 b2 − a2 b1 )),
wobei + und − die übliche Vektorraumaddition und -subtraktion bezeichnen. Man zeige,
dass (F43 , ∗) alle Eigenschaften einer kommutativen Gruppe erfüllt außer der Assoziativität.
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Die Zuordnung der Briefkästen zu den Übungsgruppen und weitere Informationen zur Abgabe sind zu
finden unter http://www.math.uni-leipzig.de/~matz/WiSe15/LinAlg1/infos.pdf

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