Taylor–Entwicklung

Taylor–Entwicklung
Beispiel: Approximiere die Funktion
√
f (x) = 3 x
in der Umgebung vom Punkt P (1, 1)
Lineare Approximation durch Tangente:
f 0 (x) = 13 (x)−2/3
f 0 (1) =
1
3
⇒d=y−k·x⇒d=1−
Tangente: p(x) = 31 x +
1
3
=
2
3
2
3
ODER
1
p(x) = 1 + (x − 1)
3
1
2
Es gilt:
f 0(1) = 1/3(1)2/3 = 1/3
p0(1) = 1/3(1) = 1/3
d.h. Die erste Ableitung im Punkt P (1/1)
von f (x) ist mit der von p(x) ident!
f 0(1) = p0(1)
(ebenso die ”nullte” f (1) = p(1))
Welche Approximation wird erhalten, wenn zusätzlich
noch die Gleichheit der zweiten Ableitung (Krümmung)
im Punkt P (1/1) verlangt wird?
f 00 (1) = p00 (1)
3
Quadratische Approximation:
p(x) = A + B(x − 1) + C(x − 1)2
es folgt aus
f (1) = p(1) ⇒ 1 = A
f 0(x) = 1/3x−2/3
p0(x) = B + 2C(x − 1)
f 0(1) = p0(1) ⇒ 1/3 = B
f 00(x) = −2/9x−5/3
p00(x) = 2C
f 00(1) = p00(1) ⇒ −2/9 = 2C
C = −1/9
1
1
p(x) = 1 + (x − 1) − (x − 1)2
3
9
4
5
1
1
p(x) = 1 + (x − 1) − (x − 1)2
3
9
Die quadratische Approximation an f (x)
um x = a ist
f (x) ≈
p(x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) + 12 f 00 (a)(x − a)2
analog Approximation höherer Ordnung
6
Taylor-Polynom:
Die Approximation an f (x) um x = a ist
0
00
(a)
(a)
f (x) ≈ f (a)+ f 1!
(x−a)+ f 2!
(x−a)2 +· · ·+ f
(n)
(a)
(x−a)n
n!
7
n=1
8
n=2
9
n=3
10
n=4
11
Beispiel:
Bestimme
√ die Taylor-Approximation dritten Grades für
f (x) = 1 + x um x = 0.
f 0 (x) = 1/2(1 + x)−1/2
f 00 (x) = 1/2(−1/2)(1 + x)−3/2
f 000 (x) = 1/2(−1/2)(−3/2)(1 + x)−5/2
für x = 0 ergibt sich:
f (0) = 1, f 0 (0) = 1/2, f 00 (0) = −1/4, f 000 (0) = 3/8
f (x) ≈ 1 +
11
1 −1 2
13 3
x+
x +
x
1! 2
2! 4
3! 8
f (x) ≈ 1 +
1
1
1 3
x − x2 −
x
2
8
16
12
Es gilt für x in der Nähe von 0:
f (x) = f (0) +
f 0 (0)
x
1!
+
f 00 (0) 2
x
2!
+ ··· +
f (n) (0) n
x
n!
+ Rn+1 (x)
Rn+1 . . . Restglied nach n Termen.
Lagrange’sche Form des Restgliedes:
Sei f in einem Intervall, welches 0 und x enthält, n + 1
mal differenzierbar. Dann kann das Restglied
Rn+1 (x) =
1
f (n+1) (c)xn+1
(n + 1)!
für eine Zahl c zwischen 0 und x geschrieben werden.
13
Taylor-Formel:
0
00
(0)
(0) 2
f (x) = f (0) + f 1!
x + f 2!
x +···+ f
(n)
(0) n
f (n+1) (c) n+1
x
+
x
n!
(n+1)!
wobei 0 ≤ c ≤ x
Die Zahl c ist nicht fest, da sie im Allgemeinen sowohl
von x als auch von n abhängt.
?Wozu brauchen wir dann Rn+1 ?
14
Fehlerabschätzung:
1
f (n+1) (c)(x − a)n+1 kann
Das Restglied Rn+1 (x) = (n+1)!
zur Fehlerabschätzung verwendet werden!
Beispiel:
Welchen maximalen Fehler machen wir, wenn wir bei
der Funktion
√
f (x) = 3 x
statt f (1.1) die quadratische Approximation p(1.1)
p(x) = 1 +
1
1
(x − 1) − (x − 1)2
3
9
verwenden?
15
Rn+1 (x) =
a=1
1
f (n+1) (c)(x
(n+1)!
x = 1.1
R3 (1.1) =
1
3!
10
27
·
− a)n+1
n=2
· c−8/3 · (1.1 − 1)3
c ist zwischen 1.1 und 1
⇒ R3 (1.1) =
1
6
⇒ |R3 (1.1)| ≤
·
1
6
10
27
·
·
10
27
1
c8/3
·
· (0.1)3
1
18/3
· (0.1)3
⇒ |R3 (1.1)| ≤ 0.000061728
16
f (1.1) =
p(1.1) = 1 +
√
3
x = 1.03228011545637
1
1
(x − 1) − (x − 1)2 = 1.03222222222222
3
9
1.03228011545637−1.03222222222222 = 0.000057893
< 0.000061728
17

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